与えられた問題は、次の数列の和を求めることです。 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$

1. 問題の内容

与えられた問題は、次の数列の和を求めることです。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$

2. 解き方の手順

部分分数分解を利用します。$\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$を次のように分解します。

$\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1} + \frac{C}{k+2}$

両辺に$k(k+1)(k+2)$を掛けると、

$1 = A(k+1)(k+2) + B(k)(k+2) + C(k)(k+1)$

$k = 0$のとき、$1 = A(1)(2) \implies A = \frac{1}{2}$

$k = -1$のとき、$1 = B(-1)(1) \implies B = -1$

$k = -2$のとき、$1 = C(-2)(-1) \implies C = \frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2k} - \frac{1}{k+1} + \frac{1}{2(k+2)}$

$= \frac{1}{2} (\frac{1}{k} - \frac{2}{k+1} + \frac{1}{k+2})$

$= \frac{1}{2} [(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) - (\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2})]$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{2}{k+1} + \frac{1}{k+2})$

$= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} [(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) - (\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2})]$

$= \frac{1}{2} [(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) - (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + ... + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) - (\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2})]$

$= \frac{1}{2} [(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + ... + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) - (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) - ... - (\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2})]$

$= \frac{1}{2} [ \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) - \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2}) ]$

$= \frac{1}{2} [ (1 - \frac{1}{n+1}) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{n+2}) ]$

$= \frac{1}{2} [1 - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{n+2}]$

$= \frac{1}{2} [\frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2}]$

$= \frac{1}{2} [\frac{(n+1)(n+2) - 2(n+2) + 2(n+1)}{2(n+1)(n+2)}]$

$= \frac{1}{2} [\frac{n^2 + 3n + 2 - 2n - 4 + 2n + 2}{2(n+1)(n+2)}]$

$= \frac{1}{2} [\frac{n^2 + 3n}{2(n+1)(n+2)}]$

$= \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$