次の不等式を解く問題です。 (1) $2\sin^2 \theta + 3\cos \theta < 0$ ($0^\circ \le \theta \le 180^\circ$) (2) $2\cos \theta > 3\tan \theta$ ($0^\circ \le \theta < 90^\circ$)

1. 問題の内容

次の不等式を解く問題です。

(1) $2\sin^2 \theta + 3\cos \theta < 0$ ($0^\circ \le \theta \le 180^\circ$)

(2) $2\cos \theta > 3\tan \theta$ ($0^\circ \le \theta < 90^\circ$)

2. 解き方の手順

(1)

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ を用いて $\cos \theta$ のみの式にする。

$2(1 - \cos^2 \theta) + 3\cos \theta < 0$

$2 - 2\cos^2 \theta + 3\cos \theta < 0$

$2\cos^2 \theta - 3\cos \theta - 2 > 0$

ここで $x = \cos \theta$ とおくと

$2x^2 - 3x - 2 > 0$

$(2x + 1)(x - 2) > 0$

$x < -\frac{1}{2}$ または $x > 2$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ より $-1 \le \cos \theta \le 1$ であるから、$x = \cos \theta > 2$ はありえない。

したがって $\cos \theta < -\frac{1}{2}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ で $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ となるのは $\theta = 120^\circ$ のとき。

よって $120^\circ < \theta \le 180^\circ$

(2)

$2\cos \theta > 3\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

$2\cos^2 \theta > 3\sin \theta$

$2(1 - \sin^2 \theta) > 3\sin \theta$

$2 - 2\sin^2 \theta > 3\sin \theta$

$2\sin^2 \theta + 3\sin \theta - 2 < 0$

ここで $y = \sin \theta$ とおくと

$2y^2 + 3y - 2 < 0$

$(2y - 1)(y + 2) < 0$

$-2 < y < \frac{1}{2}$

$0^\circ \le \theta < 90^\circ$ より $0 \le \sin \theta < 1$ であるから、 $0 \le \sin \theta < \frac{1}{2}$

$\sin \theta = \frac{1}{2}$ となるのは $\theta = 30^\circ$ のとき。

よって $0^\circ \le \theta < 30^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $120^\circ < \theta \le 180^\circ$

(2) $0^\circ \le \theta < 30^\circ$