関数 $f(x) = x^{3x}$ の導関数 $f'(x)$ を求めよ。ヒントとして、両辺の対数をとり、対数微分法を用いることが示されている。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^{3x}$ の導関数 $f'(x)$ を求めよ。ヒントとして、両辺の対数をとり、対数微分法を用いることが示されている。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^{3x}$ の両辺の対数をとると、

$\log f(x) = \log (x^{3x})$

対数の性質より、

$\log f(x) = 3x \log x$

次に、両辺を $x$ で微分する。左辺は合成関数の微分となるため、

$\frac{d}{dx} \log f(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}$

右辺は積の微分法を用いる。

$\frac{d}{dx} (3x \log x) = 3 \log x + 3x \cdot \frac{1}{x} = 3 \log x + 3$

したがって、

$\frac{f'(x)}{f(x)} = 3 \log x + 3$

両辺に $f(x)$ を掛けると、

$f'(x) = f(x) (3 \log x + 3)$

$f(x) = x^{3x}$ を代入すると、

$f'(x) = x^{3x} (3 \log x + 3)$

$f'(x) = 3x^{3x}(\log x + 1)$

3. 最終的な答え

$f'(x) = 3x^{3x}(\log x + 1)$