以下の4つの定積分の値を求めます。 (1) $\int_{-2}^{2} (x^3 + 3x^2 + 4x + 5) dx$ (2) $\int_{-1}^{1} (e^x - e^{-x}) dx$ (3) $\int_{-2}^{2} x\sqrt{4-x^2} dx$ (4) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x dx$

はい、承知いたしました。画像にある定積分の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の4つの定積分の値を求めます。

(1) $\int_{-2}^{2} (x^3 + 3x^2 + 4x + 5) dx$

(2) $\int_{-1}^{1} (e^x - e^{-x}) dx$

(3) $\int_{-2}^{2} x\sqrt{4-x^2} dx$

(4) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x dx$

2. 解き方の手順

(1)

まず、積分を計算します。

$\int (x^3 + 3x^2 + 4x + 5) dx = \frac{1}{4}x^4 + x^3 + 2x^2 + 5x + C$

次に、積分範囲を適用します。

$\int_{-2}^{2} (x^3 + 3x^2 + 4x + 5) dx = [\frac{1}{4}x^4 + x^3 + 2x^2 + 5x]_{-2}^{2}$

$= (\frac{1}{4}(2)^4 + (2)^3 + 2(2)^2 + 5(2)) - (\frac{1}{4}(-2)^4 + (-2)^3 + 2(-2)^2 + 5(-2))$

$= (4 + 8 + 8 + 10) - (4 - 8 + 8 - 10) = 30 - (-6) = 36$

(2)

まず、積分を計算します。

$\int (e^x - e^{-x}) dx = e^x + e^{-x} + C$

次に、積分範囲を適用します。

$\int_{-1}^{1} (e^x - e^{-x}) dx = [e^x + e^{-x}]_{-1}^{1}$

$= (e^1 + e^{-1}) - (e^{-1} + e^{1}) = 0$

別解として、$f(x) = e^x - e^{-x}$ は奇関数であるため、$\int_{-1}^{1} (e^x - e^{-x}) dx = 0$。

(3)

$u = 4-x^2$ と置換すると、$du = -2x dx$ となり、$x dx = -\frac{1}{2} du$ となります。

積分範囲も変更します。$x=-2$ のとき $u = 4-(-2)^2 = 0$、$x=2$ のとき $u = 4-(2)^2 = 0$。

$\int_{-2}^{2} x\sqrt{4-x^2} dx = \int_{0}^{0} \sqrt{u} (-\frac{1}{2}) du = 0$

別解として、$f(x) = x\sqrt{4-x^2}$ は奇関数であるため、$\int_{-2}^{2} x\sqrt{4-x^2} dx = 0$。

(4)

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ を使って積分を計算します。

$\int \sin^2 x dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + C$

次に、積分範囲を適用します。

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x dx = [\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$

$= (\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}) - \frac{1}{4}\sin(\pi)) - (\frac{1}{2}(-\frac{\pi}{2}) - \frac{1}{4}\sin(-\pi))$

$= (\frac{\pi}{4} - 0) - (-\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 36

(2) 0

(3) 0

(4) $\frac{\pi}{2}$