与えられた関数 $f(x) = x\sqrt{x^2 + A} + A \log |x + \sqrt{x^2 + A}|$ (ただし $A \neq 0$) の微分を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = x\sqrt{x^2 + A} + A \log |x + \sqrt{x^2 + A}|$ (ただし $A \neq 0$) の微分を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の各項を個別に微分します。

$f(x) = x\sqrt{x^2 + A} + A \log |x + \sqrt{x^2 + A}|$

第1項の微分: $\frac{d}{dx} (x\sqrt{x^2 + A})$

積の微分公式を使うと、

$\frac{d}{dx} (x\sqrt{x^2 + A}) = \sqrt{x^2 + A} + x \frac{1}{2\sqrt{x^2 + A}} (2x) = \sqrt{x^2 + A} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + A}} = \frac{x^2 + A + x^2}{\sqrt{x^2 + A}} = \frac{2x^2 + A}{\sqrt{x^2 + A}}$

第2項の微分: $\frac{d}{dx} (A \log |x + \sqrt{x^2 + A}|)$

合成関数の微分公式を使うと、

$\frac{d}{dx} (A \log |x + \sqrt{x^2 + A}|) = A \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + A}} (1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + A}} (2x)) = A \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + A}} (1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + A}}) = A \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + A}} (\frac{\sqrt{x^2 + A} + x}{\sqrt{x^2 + A}}) = \frac{A}{\sqrt{x^2 + A}}$

したがって、$f'(x)$ は、

$f'(x) = \frac{2x^2 + A}{\sqrt{x^2 + A}} + \frac{A}{\sqrt{x^2 + A}} = \frac{2x^2 + 2A}{\sqrt{x^2 + A}} = \frac{2(x^2 + A)}{\sqrt{x^2 + A}} = 2\sqrt{x^2 + A}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{x^2 + A}$