与えられた極限を計算します。 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、いくつかの方法があります。

まず、ロピタルの定理を使うことを考えます。$x \to 0$のとき、$1 - \cos x \to 0$であり、$x^2 \to 0$なので、不定形$\frac{0}{0}$の形になっています。したがって、ロピタルの定理を適用できます。

1回微分すると、

$\frac{d}{dx}(1 - \cos x) = \sin x$

$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x}$

再び$x \to 0$のとき、$\sin x \to 0$であり、$2x \to 0$なので、不定形$\frac{0}{0}$の形になっています。もう一度ロピタルの定理を適用します。

$\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$

$\frac{d}{dx}(2x) = 2$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2}$

$x \to 0$のとき、$\cos x \to 1$なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2} = \frac{1}{2}$

別の解法として、$1 - \cos x = 2 \sin^2(\frac{x}{2})$という三角関数の公式を使う方法があります。

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(\frac{x}{2})}{x^2} = 2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(\frac{x}{2})}{x^2} = 2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(\frac{x}{2})}{x} \cdot \frac{\sin(\frac{x}{2})}{x}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$であることを利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\frac{x}{2})}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(\frac{x}{2})}{2 (\frac{x}{2})} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{\sin(\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

したがって、

$2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(\frac{x}{2})}{x} \cdot \frac{\sin(\frac{x}{2})}{x} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$