関数 $f(x) = \frac{\sin x}{\sqrt{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x}}$ の微分を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{\sin x}{\sqrt{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x}}$ の微分を求める問題です。

2. 解き方の手順

商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

ここで、$u = \sin x$ および $v = \sqrt{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x}$ とします。

まず、$u' = (\sin x)' = \cos x$ です。

次に、$v$ を微分します。$v = (a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x)^{1/2}$ なので、連鎖律（合成関数の微分法）を用います。

$v' = \frac{1}{2}(a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x)^{-1/2} \cdot (a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x)'$

ここで、$(a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x)' = a^2(2 \cos x (-\sin x)) + b^2(2 \sin x \cos x) = -2a^2 \sin x \cos x + 2b^2 \sin x \cos x = 2(b^2 - a^2) \sin x \cos x$

したがって、

$v' = \frac{1}{2}(a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x)^{-1/2} \cdot 2(b^2 - a^2) \sin x \cos x = \frac{(b^2 - a^2) \sin x \cos x}{\sqrt{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x}}$

商の微分公式に代入します。

$f'(x) = \frac{\cos x \sqrt{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x} - \sin x \frac{(b^2 - a^2) \sin x \cos x}{\sqrt{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x}}}{(\sqrt{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x})^2}$

$f'(x) = \frac{\cos x (a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x) - \sin x (b^2 - a^2) \sin x \cos x}{(a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x)^{3/2}}$

$f'(x) = \frac{a^2 \cos^3 x + b^2 \sin^2 x \cos x - b^2 \sin^2 x \cos x + a^2 \sin^2 x \cos x}{(a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x)^{3/2}}$

$f'(x) = \frac{a^2 \cos^3 x + a^2 \sin^2 x \cos x}{(a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x)^{3/2}}$

$f'(x) = \frac{a^2 \cos x (\cos^2 x + \sin^2 x)}{(a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x)^{3/2}}$

$f'(x) = \frac{a^2 \cos x}{(a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x)^{3/2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{a^2 \cos x}{(a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x)^{3/2}}$