$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\sin 2\theta > \sqrt{2} \cos \theta$ を解く問題です。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\sin 2\theta > \sqrt{2} \cos \theta$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ であることを利用して、不等式を変形します。

$2 \sin \theta \cos \theta > \sqrt{2} \cos \theta$

$\cos \theta (2 \sin \theta - \sqrt{2}) > 0$

この不等式が成り立つのは、次の2つの場合です。

(1) $\cos \theta > 0$ かつ $2 \sin \theta - \sqrt{2} > 0$

(2) $\cos \theta < 0$ かつ $2 \sin \theta - \sqrt{2} < 0$

(1) の場合：

$\cos \theta > 0$ より、$0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$ または $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$

$2 \sin \theta - \sqrt{2} > 0$ より、$\sin \theta > \frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、$\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{3\pi}{4}$

共通範囲を求めると、$\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2}$

(2) の場合：

$\cos \theta < 0$ より、$\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{2}$

$2 \sin \theta - \sqrt{2} < 0$ より、$\sin \theta < \frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、$0 \le \theta < \frac{\pi}{4}$ または $\frac{3\pi}{4} < \theta < 2\pi$

共通範囲を求めると、$\frac{3\pi}{4} < \theta < \frac{3\pi}{2}$

(1) と (2) の結果を合わせると、解が得られます。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4} < \theta < \frac{3\pi}{2}$