$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x+a) - \sin(a)}{x}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x+a) - \sin(a)}{x}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

三角関数の加法定理を利用して、$\sin(x+a)$ を展開します。

$\sin(x+a) = \sin(x)\cos(a) + \cos(x)\sin(a)$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x+a) - \sin(a)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)\cos(a) + \cos(x)\sin(a) - \sin(a)}{x}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)\cos(a) + (\cos(x)-1)\sin(a)}{x}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)\cos(a)}{x} + \lim_{x \to 0} \frac{(\cos(x)-1)\sin(a)}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ であることと、$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)-1}{x} = 0$ であることを用いると、

$= \cos(a) \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} + \sin(a) \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)-1}{x}$

$= \cos(a) \cdot 1 + \sin(a) \cdot 0$

$= \cos(a)$

3. 最終的な答え

$\cos(a)$