与えられた12個の定積分を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた12個の定積分を計算する問題です。

2. 解き方の手順

各定積分について、以下の手順で計算を行います。

(1) 不定積分を計算する。

(2) 定積分の定義に従い、積分の上端と下端での不定積分の値を計算し、その差を求める。

個別の問題について：

(1) $\int_{1}^{2} (-5) dx$

不定積分は $-5x$。

$(-5)(2) - (-5)(1) = -10 - (-5) = -5$

(2) $\int_{0}^{1} (4x - 3) dx$

不定積分は $2x^2 - 3x$。

$(2(1)^2 - 3(1)) - (2(0)^2 - 3(0)) = (2 - 3) - 0 = -1$

(3) $\int_{-1}^{1} x^3 dx$

不定積分は $\frac{1}{4}x^4$。

$\frac{1}{4}(1)^4 - \frac{1}{4}(-1)^4 = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$

(4) $\int_{-1}^{1} x^4 dx$

不定積分は $\frac{1}{5}x^5$。

$\frac{1}{5}(1)^5 - \frac{1}{5}(-1)^5 = \frac{1}{5} - (-\frac{1}{5}) = \frac{2}{5}$

(5) $\int_{-1}^{1} (x^3 + x^4) dx$

不定積分は $\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{5}x^5$。

$(\frac{1}{4}(1)^4 + \frac{1}{5}(1)^5) - (\frac{1}{4}(-1)^4 + \frac{1}{5}(-1)^5) = (\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) = \frac{2}{5}$

(6) $\int_{1}^{2} (x^2 - x) dx$

不定積分は $\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2$。

$(\frac{1}{3}(2)^3 - \frac{1}{2}(2)^2) - (\frac{1}{3}(1)^3 - \frac{1}{2}(1)^2) = (\frac{8}{3} - 2) - (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) = \frac{2}{3} - (-\frac{1}{6}) = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

(7) $\int_{0}^{1} (2x - 1)^2 dx = \int_{0}^{1} (4x^2 - 4x + 1) dx$

不定積分は $\frac{4}{3}x^3 - 2x^2 + x$。

$(\frac{4}{3}(1)^3 - 2(1)^2 + 1) - (\frac{4}{3}(0)^3 - 2(0)^2 + 0) = \frac{4}{3} - 2 + 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$

(8) $\int_{-1}^{1} (x + \frac{1}{2})^2 dx = \int_{-1}^{1} (x^2 + x + \frac{1}{4}) dx$

不定積分は $\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{4}x$。

$(\frac{1}{3}(1)^3 + \frac{1}{2}(1)^2 + \frac{1}{4}(1)) - (\frac{1}{3}(-1)^3 + \frac{1}{2}(-1)^2 + \frac{1}{4}(-1)) = (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) - (-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}) = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4+3}{6} = \frac{7}{6}$

(9) $\int_{2}^{3} (2x + 1)(x - 1) dx = \int_{2}^{3} (2x^2 - x - 1) dx$

不定積分は $\frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - x$。

$(\frac{2}{3}(3)^3 - \frac{1}{2}(3)^2 - 3) - (\frac{2}{3}(2)^3 - \frac{1}{2}(2)^2 - 2) = (18 - \frac{9}{2} - 3) - (\frac{16}{3} - 2 - 2) = 15 - \frac{9}{2} - \frac{16}{3} + 4 = 19 - \frac{27 + 32}{6} = 19 - \frac{59}{6} = \frac{114 - 59}{6} = \frac{55}{6}$

(10) $\int_{0}^{a} (x + 1)^2 dx = \int_{0}^{a} (x^2 + 2x + 1) dx$

不定積分は $\frac{1}{3}x^3 + x^2 + x$。

$(\frac{1}{3}a^3 + a^2 + a) - (\frac{1}{3}(0)^3 + (0)^2 + 0) = \frac{1}{3}a^3 + a^2 + a$

(11) $\int_{b}^{0} (x - \frac{1}{3})^2 dx = \int_{b}^{0} (x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}) dx$

不定積分は $\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{9}x$。

$(\frac{1}{3}(0)^3 - \frac{1}{3}(0)^2 + \frac{1}{9}(0)) - (\frac{1}{3}b^3 - \frac{1}{3}b^2 + \frac{1}{9}b) = -(\frac{1}{3}b^3 - \frac{1}{3}b^2 + \frac{1}{9}b) = -\frac{1}{3}b^3 + \frac{1}{3}b^2 - \frac{1}{9}b$

(12) $\int_{a}^{b} (4x + 1) dx$

不定積分は $2x^2 + x$。

$(2b^2 + b) - (2a^2 + a) = 2b^2 + b - 2a^2 - a$

3. 最終的な答え

(1) -5

(2) -1

(3) 0

(4) 2/5

(5) 2/5

(6) 5/6

(7) 1/3

(8) 7/6

(9) 55/6

(10) $\frac{1}{3}a^3 + a^2 + a$

(11) $-\frac{1}{3}b^3 + \frac{1}{3}b^2 - \frac{1}{9}b$

(12) $2b^2 + b - 2a^2 - a$