関数 $f(x) = e^{-x}(\cos x + \sin x)$ ($x > 0$) について、以下の問いに答えます。 (1) $f(x)$ が極値をとる $x$ の値を小さい順に $x_1, x_2, x_3, ...$ とするとき、$x_n$ を求めます。 (2) $f(x_n)$ を求めます。 (3) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} f(x_n)$ の和を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^{-x}(\cos x + \sin x)$ ($x > 0$) について、以下の問いに答えます。

(1) $f(x)$ が極値をとる $x$ の値を小さい順に $x_1, x_2, x_3, ...$ とするとき、$x_n$ を求めます。

(2) $f(x_n)$ を求めます。

(3) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} f(x_n)$ の和を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $x_n$ を求める。

$f(x)$ が極値をとる条件は、$f'(x) = 0$ となることです。

まず、$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = -e^{-x}(\cos x + \sin x) + e^{-x}(-\sin x + \cos x) = -2e^{-x}\sin x$

$f'(x) = 0$ となるのは $\sin x = 0$ のときです。

$x > 0$ より、$x = n\pi$ ($n$ は自然数) となります。

$x_n$ は小さい順に並んでいるので、$x_n = n\pi$ です。

(2) $f(x_n)$ を求める。

$f(x_n) = f(n\pi) = e^{-n\pi}(\cos(n\pi) + \sin(n\pi))$

$\sin(n\pi) = 0$ であり、$\cos(n\pi) = (-1)^n$ なので、

$f(x_n) = (-1)^n e^{-n\pi}$

(3) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} f(x_n)$ の和を求める。

$\sum_{n=1}^{\infty} f(x_n) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n e^{-n\pi}$

これは初項 $-e^{-\pi}$、公比 $-e^{-\pi}$ の等比級数なので、その和は

$\frac{-e^{-\pi}}{1 - (-e^{-\pi})} = \frac{-e^{-\pi}}{1 + e^{-\pi}} = \frac{-1}{e^{\pi} + 1}$

3. 最終的な答え

(1) $x_n = n\pi$

(2) $f(x_n) = (-1)^n e^{-n\pi}$

(3) $\sum_{n=1}^{\infty} f(x_n) = \frac{-1}{e^{\pi} + 1}$