関数 $f(x) = ax - \log(1+e^x)$ (ただし、$0 < a < 1$) の最大値を $M(a)$ とするとき、以下の問いに答える。 (1) $M(a)$ を $a$ を用いて表せ。 (2) 関数 $y = M(a)$ の最小値と、そのときの $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = ax - \log(1+e^x)$ (ただし、$0 < a < 1$) の最大値を $M(a)$ とするとき、以下の問いに答える。

(1) $M(a)$ を $a$ を用いて表せ。

(2) 関数 $y = M(a)$ の最小値と、そのときの $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = ax - \log(1+e^x)$ の最大値を求める。

まず、$f(x)$ の導関数を計算する。

$f'(x) = a - \frac{e^x}{1+e^x} = a - \frac{1}{1+e^{-x}}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$a = \frac{1}{1+e^{-x}}$

$1+e^{-x} = \frac{1}{a}$

$e^{-x} = \frac{1}{a} - 1 = \frac{1-a}{a}$

$-x = \log\left(\frac{1-a}{a}\right)$

$x = -\log\left(\frac{1-a}{a}\right) = \log\left(\frac{a}{1-a}\right)$

$x = \log\left(\frac{a}{1-a}\right)$ を $x_0$ とおく。

$f''(x) = \frac{-e^x(-e^{-x})}{(1+e^{-x})^2} = \frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2} > 0$ より、$f'(x)$は単調増加である。したがって、$f(x)$は下に凸な関数であり、$x_0$ で最大値を取る。

$M(a) = f(x_0) = a\log\left(\frac{a}{1-a}\right) - \log\left(1+e^{\log(\frac{a}{1-a})}\right)$

$= a\log\left(\frac{a}{1-a}\right) - \log\left(1+\frac{a}{1-a}\right)$

$= a\log\left(\frac{a}{1-a}\right) - \log\left(\frac{1-a+a}{1-a}\right)$

$= a\log\left(\frac{a}{1-a}\right) - \log\left(\frac{1}{1-a}\right)$

$= a\log\left(\frac{a}{1-a}\right) + \log(1-a)$

$= a(\log a - \log(1-a)) + \log(1-a)$

$= a\log a - a\log(1-a) + \log(1-a)$

$= a\log a + (1-a)\log(1-a)$

(2) $y = M(a) = a\log a + (1-a)\log(1-a)$ の最小値を求める。

$M'(a) = \log a + a \cdot \frac{1}{a} + (-\log(1-a)) + (1-a)\cdot \frac{-1}{1-a}(-1)$

$= \log a + 1 - \log(1-a) + 1$

$= \log a - \log(1-a) + 2$

$M'(a) = \log \frac{a}{1-a} + 2 = 0$ となる $a$ を求める。

$\log \frac{a}{1-a} = -2$

$\frac{a}{1-a} = e^{-2}$

$a = e^{-2}(1-a)$

$a = e^{-2} - ae^{-2}$

$a(1+e^{-2}) = e^{-2}$

$a = \frac{e^{-2}}{1+e^{-2}} = \frac{1}{e^2+1}$

$M''(a) = \frac{1}{a} + \frac{1}{1-a} = \frac{1-a+a}{a(1-a)} = \frac{1}{a(1-a)} > 0$ なので、$M(a)$ は下に凸である。

したがって、$a = \frac{1}{e^2+1}$ のとき最小値をとる。

$M\left(\frac{1}{e^2+1}\right) = \frac{1}{e^2+1}\log\left(\frac{1}{e^2+1}\right) + \left(1-\frac{1}{e^2+1}\right)\log\left(1-\frac{1}{e^2+1}\right)$

$= \frac{1}{e^2+1}\log\left(\frac{1}{e^2+1}\right) + \frac{e^2}{e^2+1}\log\left(\frac{e^2}{e^2+1}\right)$

$= \frac{1}{e^2+1}\log\left(\frac{1}{e^2+1}\right) + \frac{e^2}{e^2+1}\left(\log e^2 - \log(e^2+1)\right)$

$= \frac{1}{e^2+1}(-\log(e^2+1)) + \frac{e^2}{e^2+1}(2-\log(e^2+1))$

$= \frac{-\log(e^2+1) + 2e^2 - e^2\log(e^2+1)}{e^2+1}$

$= \frac{2e^2 - (1+e^2)\log(e^2+1)}{e^2+1}$

$= \frac{2e^2}{e^2+1} - \log(e^2+1)$

3. 最終的な答え

(1) $M(a) = a\log a + (1-a)\log(1-a)$

(2) 最小値: $\frac{2e^2}{e^2+1} - \log(e^2+1)$ 、$a = \frac{1}{e^2+1}$