与えられた積分 $\int \frac{1}{\sin^2 x \cos x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分

$\int \frac{1}{\sin^2 x \cos x} dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

被積分関数を以下のように変形します。

$\frac{1}{\sin^2 x \cos x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\sin^2 x \cos x} = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x \cos x} + \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x \cos x} = \frac{\cos x}{\sin^2 x} + \frac{1}{\cos x}$

したがって、積分は

$\int \frac{1}{\sin^2 x \cos x} dx = \int \left( \frac{\cos x}{\sin^2 x} + \frac{1}{\cos x} \right) dx = \int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx + \int \frac{1}{\cos x} dx$

となります。

最初の積分$\int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx$に対して、$u = \sin x$と置換すると、$du = \cos x dx$となり、

$\int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx = \int \frac{1}{u^2} du = -\frac{1}{u} + C_1 = -\frac{1}{\sin x} + C_1 = -\csc x + C_1$

となります。

次に、二番目の積分$\int \frac{1}{\cos x} dx$を計算します。$\frac{1}{\cos x} = \sec x$ですので、

$\int \frac{1}{\cos x} dx = \int \sec x dx = \int \sec x \frac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x} dx = \int \frac{\sec^2 x + \sec x \tan x}{\sec x + \tan x} dx$

ここで、$v = \sec x + \tan x$とおくと、$dv = (\sec x \tan x + \sec^2 x) dx$となるので、

$\int \frac{\sec^2 x + \sec x \tan x}{\sec x + \tan x} dx = \int \frac{1}{v} dv = \ln |v| + C_2 = \ln |\sec x + \tan x| + C_2$

となります。

したがって、元の積分は

$\int \frac{1}{\sin^2 x \cos x} dx = -\csc x + \ln |\sec x + \tan x| + C$

となります。

3. 最終的な答え

$-\csc x + \ln |\sec x + \tan x| + C$