(1) 関数 $y = \frac{f(x)}{g(x)}$ が $x=a$ で極値をとるとき、$\frac{f(a)}{g(a)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$ が成り立つことを示す。ただし、$f(x), g(x)$ はともに $x=a$ で微分可能で、$g'(a) \ne 0$ とする。 (2) $a \ne 0$ とする。関数 $y = \frac{ax+b}{x^2 - 2x + 2}$ が $x=4$ で極値をとり、最小値が $-\frac{1}{2}$ であるとき、$a, b$ の値を求めよ。また、このとき、この関数は最大値をもつことを示し、その値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = \frac{f(x)}{g(x)}$ が $x=a$ で極値をとるとき、$\frac{f(a)}{g(a)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$ が成り立つことを示す。ただし、$f(x), g(x)$ はともに $x=a$ で微分可能で、$g'(a) \ne 0$ とする。

(2) $a \ne 0$ とする。関数 $y = \frac{ax+b}{x^2 - 2x + 2}$ が $x=4$ で極値をとり、最小値が $-\frac{1}{2}$ であるとき、$a, b$ の値を求めよ。また、このとき、この関数は最大値をもつことを示し、その値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$y = \frac{f(x)}{g(x)}$ を微分すると、

$y' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$

$x=a$ で極値をとるので、$y'(a) = 0$

したがって、

$\frac{f'(a)g(a) - f(a)g'(a)}{g(a)^2} = 0$

$f'(a)g(a) - f(a)g'(a) = 0$

$f'(a)g(a) = f(a)g'(a)$

$\frac{f(a)}{g(a)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$ (ただし、$g(a) \ne 0$ かつ $g'(a) \ne 0$)

(2)

$y = \frac{ax+b}{x^2 - 2x + 2}$

$y' = \frac{a(x^2 - 2x + 2) - (ax+b)(2x-2)}{(x^2 - 2x + 2)^2}$

$y' = \frac{ax^2 - 2ax + 2a - 2ax^2 + 2ax - 2bx + 2b}{(x^2 - 2x + 2)^2}$

$y' = \frac{-ax^2 - 2bx + 2a + 2b}{(x^2 - 2x + 2)^2}$

$x=4$ で極値をとるので、$y'(4) = 0$

$\frac{-16a - 8b + 2a + 2b}{(4^2 - 2(4) + 2)^2} = 0$

$-14a - 6b = 0$

$7a + 3b = 0$

$b = -\frac{7}{3} a$

したがって、

$y = \frac{ax - \frac{7}{3} a}{x^2 - 2x + 2} = \frac{a(x-\frac{7}{3})}{x^2 - 2x + 2}$

$x=4$ のとき、$y = \frac{a(4-\frac{7}{3})}{4^2 - 2(4) + 2} = \frac{a\frac{5}{3}}{10} = \frac{a}{6}$

最小値が $-\frac{1}{2}$ なので、$\frac{a}{6} = -\frac{1}{2}$

$a = -3$

$b = -\frac{7}{3} a = -\frac{7}{3} (-3) = 7$

したがって、$y = \frac{-3x + 7}{x^2 - 2x + 2}$

$y = \frac{-3x+7}{x^2-2x+2}$

$y = k$ とすると,

$k(x^2-2x+2) = -3x+7$

$kx^2 + (-2k+3)x + (2k-7)=0$

これが実数解を持つ条件は

$D = (-2k+3)^2 - 4k(2k-7) \ge 0$

$4k^2 - 12k + 9 - 8k^2 + 28k \ge 0$

$-4k^2 + 16k + 9 \ge 0$

$4k^2 - 16k - 9 \le 0$

$k = \frac{16 \pm \sqrt{16^2 - 4(4)(-9)}}{8} = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 144}}{8} = \frac{16 \pm \sqrt{400}}{8} = \frac{16 \pm 20}{8} = 2 \pm \frac{5}{2}$

$k = 2 - \frac{5}{2} = -\frac{1}{2}$

$k = 2 + \frac{5}{2} = \frac{9}{2}$

したがって、 $-\frac{1}{2} \le k \le \frac{9}{2}$

よって、最大値は $\frac{9}{2}$ である。

3. 最終的な答え

$a = -3$

$b = 7$

最大値: $\frac{9}{2}$