$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この極限を求めるには、いくつかの方法があります。ここでは、ロピタルの定理を使う方法と、三角関数の倍角の公式を使う方法を示します。

**ロピタルの定理を使う方法:**

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を適用できます。ロピタルの定理は、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ が $\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形である場合に、$\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ を計算することで極限を求めることができるという定理です。

$f(x) = \cos x - 1$ と $g(x) = x$ とすると、$f'(x) = -\sin x$ 、$g'(x) = 1$ となります。したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{1} = -\sin(0) = 0$

**三角関数の倍角の公式を使う方法:**

$\cos x = 1 - 2\sin^2(\frac{x}{2})$ という倍角の公式を利用します。この公式を元の式に代入すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - 2\sin^2(\frac{x}{2}) - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{-2\sin^2(\frac{x}{2})}{x}$

ここで、$y = \frac{x}{2}$ とおくと、$x = 2y$ となり、$x \to 0$ のとき $y \to 0$ です。よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{-2\sin^2(\frac{x}{2})}{x} = \lim_{y \to 0} \frac{-2\sin^2(y)}{2y} = -\lim_{y \to 0} \frac{\sin^2(y)}{y} = -\lim_{y \to 0} \frac{\sin(y)}{y} \cdot \sin(y)$

$\lim_{y \to 0} \frac{\sin(y)}{y} = 1$ および $\lim_{y \to 0} \sin(y) = 0$ であるから、

$-\lim_{y \to 0} \frac{\sin(y)}{y} \cdot \sin(y) = -1 \cdot 0 = 0$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} = 0$