(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}$ (2) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n-1} - \sqrt{n})$ (3) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2+3n} - \sqrt{n^2+n})$ (4) $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+4} - \sqrt{n}}{\sqrt{n+5} - \sqrt{n+2}}$

はい、承知いたしました。問題文に記載されている4つの極限について、それぞれ解き方と解答を説明します。

1. 問題の内容

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}$

(2) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n-1} - \sqrt{n})$

(3) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2+3n} - \sqrt{n^2+n})$

(4) $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+4} - \sqrt{n}}{\sqrt{n+5} - \sqrt{n+2}}$

2. 解き方の手順

(1) 分母の有理化を行います。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{(n+1) - n} = \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} + \sqrt{n})$

$n \to \infty$ のとき、$\sqrt{n+1}$ も $\sqrt{n}$ も $\infty$ に発散するので、極限は $\infty$ となります。

(2) 有理化を行います。

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n-1} - \sqrt{n}) = \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n-1} - \sqrt{n})(\sqrt{n-1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n-1} + \sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n-1) - n}{\sqrt{n-1} + \sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{-1}{\sqrt{n-1} + \sqrt{n}}$

$n \to \infty$ のとき、$\sqrt{n-1} + \sqrt{n}$ は $\infty$ に発散するので、極限は0となります。

(3) 有理化を行います。

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2+3n} - \sqrt{n^2+n}) = \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2+3n} - \sqrt{n^2+n})(\sqrt{n^2+3n} + \sqrt{n^2+n})}{\sqrt{n^2+3n} + \sqrt{n^2+n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n^2+3n) - (n^2+n)}{\sqrt{n^2+3n} + \sqrt{n^2+n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{\sqrt{n^2+3n} + \sqrt{n^2+n}}$

分母分子を $n$ で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{1+\frac{3}{n}} + \sqrt{1+\frac{1}{n}}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{3}{n} \to 0$ かつ $\frac{1}{n} \to 0$ なので、極限は $\frac{2}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = \frac{2}{2} = 1$ となります。

(4) 分母分子をそれぞれ有理化します。

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+4} - \sqrt{n}}{\sqrt{n+5} - \sqrt{n+2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n+4} - \sqrt{n})(\sqrt{n+4} + \sqrt{n})(\sqrt{n+5} + \sqrt{n+2})}{(\sqrt{n+5} - \sqrt{n+2})(\sqrt{n+5} + \sqrt{n+2})(\sqrt{n+4} + \sqrt{n})} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+4-n)(\sqrt{n+5} + \sqrt{n+2})}{(n+5-n-2)(\sqrt{n+4} + \sqrt{n})} = \lim_{n \to \infty} \frac{4(\sqrt{n+5} + \sqrt{n+2})}{3(\sqrt{n+4} + \sqrt{n})}$

分母分子を $\sqrt{n}$ で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{4(\sqrt{1+\frac{5}{n}} + \sqrt{1+\frac{2}{n}})}{3(\sqrt{1+\frac{4}{n}} + 1)}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{5}{n} \to 0$, $\frac{2}{n} \to 0$, $\frac{4}{n} \to 0$ なので、極限は $\frac{4(\sqrt{1} + \sqrt{1})}{3(\sqrt{1} + 1)} = \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\infty$

(2) $0$

(3) $1$

(4) $\frac{4}{3}$