関数 $f(x)$ は $n$ 回微分可能であるとき、$x^3 f(x)$ の $n$ 次導関数を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ は $n$ 回微分可能であるとき、$x^3 f(x)$ の $n$ 次導関数を求める。

2. 解き方の手順

ライプニッツの公式を用いる。ライプニッツの公式とは、$n$回微分可能な2つの関数 $u(x)$, $v(x)$ について、

$$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)}v^{(k)}$$

が成り立つというものである。ここで、$\binom{n}{k}$ は二項係数を表し、$u^{(n-k)}$ は $u(x)$ の $n-k$ 次導関数、$v^{(k)}$ は $v(x)$ の $k$ 次導関数を表す。

この問題では、$u(x) = f(x)$、$v(x) = x^3$ とおく。$v(x) = x^3$ の導関数を計算すると、

$$v'(x) = 3x^2$$

$$v''(x) = 6x$$

$$v'''(x) = 6$$

$$v^{(k)}(x) = 0 \quad (k \geq 4)$$

となる。

よって、$x^3 f(x)$ の $n$ 次導関数は、ライプニッツの公式より

$$(x^3 f(x))^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(n-k)}(x) (x^3)^{(k)}$$

$$= \binom{n}{0} f^{(n)}(x) x^3 + \binom{n}{1} f^{(n-1)}(x) (3x^2) + \binom{n}{2} f^{(n-2)}(x) (6x) + \binom{n}{3} f^{(n-3)}(x) (6)$$

$$= x^3 f^{(n)}(x) + 3n x^2 f^{(n-1)}(x) + 3n(n-1) x f^{(n-2)}(x) + n(n-1)(n-2) f^{(n-3)}(x)$$

3. 最終的な答え

$$(x^3 f(x))^{(n)} = x^3 f^{(n)}(x) + 3n x^2 f^{(n-1)}(x) + 3n(n-1) x f^{(n-2)}(x) + n(n-1)(n-2) f^{(n-3)}(x)$$