問題は、与えられた8つの積分を、$x^n$ または $(x+b)^n$ の形に変形し、公式 13.1 (おそらく$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$) を用いて計算することです。

はい、承知いたしました。以下の形式で問題の解答を示します。

1. 問題の内容

問題は、与えられた8つの積分を、$x^n$ または $(x+b)^n$ の形に変形し、公式 13.1 (おそらく$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$) を用いて計算することです。

2. 解き方の手順

(1) $\int x^2 x^3 dx$

被積分関数を簡略化します。

$x^2 x^3 = x^{2+3} = x^5$

積分を計算します。

$\int x^5 dx = \frac{x^{5+1}}{5+1} + C = \frac{x^6}{6} + C$

(2) $\int \frac{x^2}{x^8} dx$

被積分関数を簡略化します。

$\frac{x^2}{x^8} = x^{2-8} = x^{-6}$

積分を計算します。

$\int x^{-6} dx = \frac{x^{-6+1}}{-6+1} + C = \frac{x^{-5}}{-5} + C = -\frac{1}{5x^5} + C$

(3) $\int \frac{1}{x^4} dx$

被積分関数を書き換えます。

$\frac{1}{x^4} = x^{-4}$

積分を計算します。

$\int x^{-4} dx = \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3x^3} + C$

(4) $\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} dx$

被積分関数を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-1/3}$

積分を計算します。

$\int x^{-1/3} dx = \frac{x^{-1/3 + 1}}{-1/3 + 1} + C = \frac{x^{2/3}}{2/3} + C = \frac{3}{2}x^{2/3} + C = \frac{3}{2} \sqrt[3]{x^2} + C$

(5) $\int x \sqrt{x} dx$

被積分関数を簡略化します。

$x\sqrt{x} = x \cdot x^{1/2} = x^{1 + 1/2} = x^{3/2}$

積分を計算します。

$\int x^{3/2} dx = \frac{x^{3/2 + 1}}{3/2 + 1} + C = \frac{x^{5/2}}{5/2} + C = \frac{2}{5}x^{5/2} + C = \frac{2}{5}\sqrt{x^5} + C = \frac{2}{5}x^2\sqrt{x} + C$

(6) $\int \frac{\sqrt[3]{x^2}}{x} dx$

被積分関数を簡略化します。

$\frac{\sqrt[3]{x^2}}{x} = \frac{x^{2/3}}{x^1} = x^{2/3 - 1} = x^{-1/3}$

積分を計算します。

$\int x^{-1/3} dx = \frac{x^{-1/3 + 1}}{-1/3 + 1} + C = \frac{x^{2/3}}{2/3} + C = \frac{3}{2}x^{2/3} + C = \frac{3}{2}\sqrt[3]{x^2} + C$

(7) $\int \frac{1}{(x-3)^2} dx$

被積分関数を書き換えます。

$\frac{1}{(x-3)^2} = (x-3)^{-2}$

積分を計算します。

$\int (x-3)^{-2} dx = \frac{(x-3)^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{(x-3)^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x-3} + C$

(8) $\int \sqrt[4]{x+2} dx$

被積分関数を書き換えます。

$\sqrt[4]{x+2} = (x+2)^{1/4}$

積分を計算します。

$\int (x+2)^{1/4} dx = \frac{(x+2)^{1/4 + 1}}{1/4 + 1} + C = \frac{(x+2)^{5/4}}{5/4} + C = \frac{4}{5}(x+2)^{5/4} + C = \frac{4}{5}\sqrt[4]{(x+2)^5} + C = \frac{4}{5}(x+2)\sqrt[4]{x+2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x^6}{6} + C$

(2) $-\frac{1}{5x^5} + C$

(3) $-\frac{1}{3x^3} + C$

(4) $\frac{3}{2}\sqrt[3]{x^2} + C$

(5) $\frac{2}{5}x^2\sqrt{x} + C$

(6) $\frac{3}{2}\sqrt[3]{x^2} + C$

(7) $-\frac{1}{x-3} + C$

(8) $\frac{4}{5}(x+2)\sqrt[4]{x+2} + C$