関数 $y = \tan(3x) \sin(4x)$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \tan(3x) \sin(4x)$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

積の微分公式と合成関数の微分公式を使います。積の微分公式は $(uv)' = u'v + uv'$ であり、合成関数の微分公式は $(f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x)$ です。

まず、 $u = \tan(3x)$ と $v = \sin(4x)$ とおきます。

$u' = \frac{d}{dx} \tan(3x) = \sec^2(3x) \cdot 3 = 3\sec^2(3x)$

$v' = \frac{d}{dx} \sin(4x) = \cos(4x) \cdot 4 = 4\cos(4x)$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ に代入すると、

$y' = 3\sec^2(3x) \sin(4x) + \tan(3x) (4\cos(4x))$

$y' = 3\sec^2(3x) \sin(4x) + 4\tan(3x) \cos(4x)$

3. 最終的な答え

$y' = 3\sec^2(3x) \sin(4x) + 4\tan(3x) \cos(4x)$