$x>0$ のとき、次の不等式を証明する。 $2x > \log(1+x)^2 > 2x - x^2$

1. 問題の内容

$x>0$ のとき、次の不等式を証明する。

$2x > \log(1+x)^2 > 2x - x^2$

2. 解き方の手順

まず、不等式を2つに分けて証明する。

(1) $2x > \log(1+x)^2$

(2) $\log(1+x)^2 > 2x - x^2$

(1) $2x > \log(1+x)^2$ の証明

$f(x) = 2x - \log(1+x)^2$ とおく。

$f'(x) = 2 - \frac{2(1+x)}{(1+x)^2} = 2 - \frac{2}{1+x} = \frac{2+2x-2}{1+x} = \frac{2x}{1+x}$

$x>0$ のとき、$f'(x) > 0$ であるから、$f(x)$ は単調増加する。

$f(0) = 2(0) - \log(1+0)^2 = 0 - \log(1)^2 = 0$

したがって、$x>0$ のとき、$f(x) > 0$ となる。

よって、$2x > \log(1+x)^2$ が成り立つ。

(2) $\log(1+x)^2 > 2x - x^2$ の証明

$g(x) = \log(1+x)^2 - (2x - x^2)$ とおく。

$g'(x) = \frac{2(1+x)}{(1+x)^2} - (2 - 2x) = \frac{2}{1+x} - 2 + 2x = \frac{2 - 2(1+x) + 2x(1+x)}{1+x} = \frac{2 - 2 - 2x + 2x + 2x^2}{1+x} = \frac{2x^2}{1+x}$

$x>0$ のとき、$g'(x) > 0$ であるから、$g(x)$ は単調増加する。

$g(0) = \log(1+0)^2 - (2(0) - 0^2) = \log(1)^2 - 0 = 0$

したがって、$x>0$ のとき、$g(x) > 0$ となる。

よって、$\log(1+x)^2 > 2x - x^2$ が成り立つ。

(1)と(2)より、$2x > \log(1+x)^2 > 2x - x^2$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$2x > \log(1+x)^2 > 2x - x^2$