与えられた8個の積分を計算する問題です。積分の形は $x^n$ または $(x+b)^n$ の形に変形できるものばかりなので、公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ ($n \neq -1$) を用いて計算します。

1. 問題の内容

与えられた8個の積分を計算する問題です。積分の形は $x^n$ または $(x+b)^n$ の形に変形できるものばかりなので、公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ ($n \neq -1$) を用いて計算します。

2. 解き方の手順

各問題ごとに手順を説明します。

(1) $\int x^2 x^3 dx = \int x^5 dx = \frac{x^6}{6} + C$

(2) $\int \frac{x^2}{x^8} dx = \int x^{-6} dx = \frac{x^{-5}}{-5} + C = -\frac{1}{5x^5} + C$

(3) $\int \frac{1}{x^4} dx = \int x^{-4} dx = \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3x^3} + C$

(4) $\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} dx = \int x^{-1/3} dx = \frac{x^{2/3}}{2/3} + C = \frac{3}{2} x^{2/3} + C = \frac{3}{2} \sqrt[3]{x^2} + C$

(5) $\int x\sqrt{x} dx = \int x^{3/2} dx = \frac{x^{5/2}}{5/2} + C = \frac{2}{5} x^{5/2} + C = \frac{2}{5} x^2 \sqrt{x} + C$

(6) $\int \frac{\sqrt[3]{x}}{x^2} dx = \int \frac{x^{1/3}}{x^2} dx = \int x^{-5/3} dx = \frac{x^{-2/3}}{-2/3} + C = -\frac{3}{2} x^{-2/3} + C = -\frac{3}{2\sqrt[3]{x^2}} + C$

(7) $\int \frac{1}{(x-3)^2} dx = \int (x-3)^{-2} dx = \frac{(x-3)^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x-3} + C$

(8) $\int \sqrt[4]{x+2} dx = \int (x+2)^{1/4} dx = \frac{(x+2)^{5/4}}{5/4} + C = \frac{4}{5} (x+2)^{5/4} + C = \frac{4}{5} (x+2) \sqrt[4]{x+2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x^6}{6} + C$

(2) $-\frac{1}{5x^5} + C$

(3) $-\frac{1}{3x^3} + C$

(4) $\frac{3}{2} \sqrt[3]{x^2} + C$

(5) $\frac{2}{5} x^2 \sqrt{x} + C$

(6) $-\frac{3}{2\sqrt[3]{x^2}} + C$

(7) $-\frac{1}{x-3} + C$

(8) $\frac{4}{5} (x+2) \sqrt[4]{x+2} + C$