$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x+a) - \sin a}{x}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x+a) - \sin a}{x}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この極限を求めるには、$\sin(x+a)$ の加法定理を利用します。

$\sin(x+a) = \sin x \cos a + \cos x \sin a$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x+a) - \sin a}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cos a + \cos x \sin a - \sin a}{x}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cos a + (\cos x - 1) \sin a}{x}$

$= \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x} \cos a + \frac{\cos x - 1}{x} \sin a\right)$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ であり、$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} = 0$ であることを利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cos a + (\cos x - 1) \sin a}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cos a + \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} \sin a$

$= 1 \cdot \cos a + 0 \cdot \sin a$

$= \cos a$

3. 最終的な答え

$\cos a$