与えられた複素関数または数列の収束・発散を調べ、収束する場合は極限値を求めます。 (1) $\lim_{z \to 0} \frac{\sqrt{1+z} - \sqrt{1-z}}{z}$ (2) $\lim_{z \to 0} \frac{z}{|z|}$ (3) $c_n = (\sqrt{5} - 2i)^n$

1. 問題の内容

与えられた複素関数または数列の収束・発散を調べ、収束する場合は極限値を求めます。

(1) $\lim_{z \to 0} \frac{\sqrt{1+z} - \sqrt{1-z}}{z}$

(2) $\lim_{z \to 0} \frac{z}{|z|}$

(3) $c_n = (\sqrt{5} - 2i)^n$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{z \to 0} \frac{\sqrt{1+z} - \sqrt{1-z}}{z}$

この極限を求めるために、分子を有理化します。

$\frac{\sqrt{1+z} - \sqrt{1-z}}{z} = \frac{(\sqrt{1+z} - \sqrt{1-z})(\sqrt{1+z} + \sqrt{1-z})}{z(\sqrt{1+z} + \sqrt{1-z})} = \frac{(1+z) - (1-z)}{z(\sqrt{1+z} + \sqrt{1-z})} = \frac{2z}{z(\sqrt{1+z} + \sqrt{1-z})} = \frac{2}{\sqrt{1+z} + \sqrt{1-z}}$

したがって、

$\lim_{z \to 0} \frac{\sqrt{1+z} - \sqrt{1-z}}{z} = \lim_{z \to 0} \frac{2}{\sqrt{1+z} + \sqrt{1-z}} = \frac{2}{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}} = \frac{2}{1+1} = 1$

(2) $\lim_{z \to 0} \frac{z}{|z|}$

$z$を極形式で$z = re^{i\theta}$と表すと、$|z| = r$となります。したがって、

$\frac{z}{|z|} = \frac{re^{i\theta}}{r} = e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

$z \to 0$のとき、$r \to 0$ですが、$\theta$は任意の値を取り得ます。したがって、$\lim_{z \to 0} \frac{z}{|z|}$は$\theta$に依存するため、極限は存在しません（発散します）。

(3) $c_n = (\sqrt{5} - 2i)^n$

$c_n$の収束・発散を調べるために、$r = |\sqrt{5} - 2i|$を計算します。

$r = |\sqrt{5} - 2i| = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + (-2)^2} = \sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3$

したがって、$c_n = (\sqrt{5} - 2i)^n$の絶対値は$|c_n| = |\sqrt{5} - 2i|^n = 3^n$となり、$n \to \infty$のとき$|c_n| \to \infty$となります。よって、$c_n$は発散します。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 発散

(3) 発散