## 問題の内容

## 問題の内容

$k > 1$ とする。曲線 $y = e^{-kx^2}$ を $C$ とする。

(1) 曲線 $C$ 上の点 $(x_0, e^{-kx_0^2})$ における法線が原点 $O$ を通るような $x_0$ を全て求めよ。

(2) 曲線 $C$ 上の点における法線で、原点 $O$ を通り、傾きが $1$ のものが存在するとき、定数 $k$ の値を求めよ。

## 解き方の手順

(1)

まず、曲線 $C: y = e^{-kx^2}$ を微分して、接線の傾きを求めます。

$\frac{dy}{dx} = -2kxe^{-kx^2}$

点 $(x_0, e^{-kx_0^2})$ における接線の傾きは、

$m = -2kx_0e^{-kx_0^2}$

したがって、法線の傾き $m'$ は、

$m' = \frac{1}{2kx_0e^{-kx_0^2}}$ $(x_0 \neq 0)$

点 $(x_0, e^{-kx_0^2})$ を通り、傾き $m'$ の直線（法線）の方程式は、

$y - e^{-kx_0^2} = \frac{1}{2kx_0e^{-kx_0^2}}(x - x_0)$

この法線が原点 $(0, 0)$ を通るので、

$0 - e^{-kx_0^2} = \frac{1}{2kx_0e^{-kx_0^2}}(0 - x_0)$

$-e^{-kx_0^2} = \frac{-x_0}{2kx_0e^{-kx_0^2}}$

$1 = \frac{1}{2kx_0^2}$

$2kx_0^2 = 1$

$x_0^2 = \frac{1}{2k}$

$x_0 = \pm \frac{1}{\sqrt{2k}}$

もし $x_0 = 0$ の場合、 接線の傾きは0となり、法線は垂直な直線 $x = 0$ となります。

これは原点を通るので $x_0 = 0$も解になります。

したがって、求める $x_0$ は $x_0 = 0, \pm \frac{1}{\sqrt{2k}}$

(2)

原点を通る法線の傾きが1であるとき、(1)の結果より、$x_0 \ne 0$である点における法線が原点を通り、傾きが1であるので、

$\frac{1}{2kx_0e^{-kx_0^2}} = 1$

$2kx_0e^{-kx_0^2} = 1$

$x_0^2 = \frac{1}{2k}$を代入すると

$x_0 = \pm \frac{1}{\sqrt{2k}}$

$2k(\pm \frac{1}{\sqrt{2k}})e^{-k(\frac{1}{2k})} = 1$

$\pm \sqrt{2k} e^{-\frac{1}{2}} = 1$

$\sqrt{2k} = e^{\frac{1}{2}}$

$2k = e$

$k = \frac{e}{2}$

## 最終的な答え

(1) $x_0 = 0, \pm \frac{1}{\sqrt{2k}}$

(2) $k = \frac{e}{2}$