次の極限を求めよ。 $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x+x^2)}{2x}$

1. 問題の内容

次の極限を求めよ。

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x+x^2)}{2x}$

2. 解き方の手順

ロピタルの定理を使って解きます。$x \to 0$ のとき、$\log(1+x+x^2) \to \log(1+0+0) = \log(1) = 0$ であり、$2x \to 0$ であるため、$\frac{0}{0}$ の不定形です。したがって、ロピタルの定理を適用できます。

分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分:

$\frac{d}{dx} \log(1+x+x^2) = \frac{1+2x}{1+x+x^2}$

分母の微分:

$\frac{d}{dx} (2x) = 2$

したがって、極限は次のようになります。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1+2x}{1+x+x^2}}{2} = \lim_{x \to 0} \frac{1+2x}{2(1+x+x^2)}$

$x \to 0$ を代入すると:

$\frac{1+2(0)}{2(1+0+0^2)} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$