与えられた定積分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1+\sin x + \cos x}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1+\sin x + \cos x}$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$t = \tan(\frac{x}{2})$ と置換します。すると、

$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$

$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

$dx = \frac{2}{1+t^2} dt$

となります。

また、積分範囲は、$x=0$ のとき $t = \tan(0) = 0$、$x = \frac{\pi}{2}$ のとき $t = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ となります。

したがって、積分は

$\int_0^1 \frac{1}{1 + \frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt = \int_0^1 \frac{1}{\frac{1+t^2+2t+1-t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt$

$= \int_0^1 \frac{1+t^2}{2+2t} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt = \int_0^1 \frac{1}{1+t} dt$

となります。

この積分は簡単に計算できます。

$\int_0^1 \frac{1}{1+t} dt = [\ln(1+t)]_0^1 = \ln(1+1) - \ln(1+0) = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 - 0 = \ln 2$

3. 最終的な答え

$\ln 2$