与えられた積分 $I = \int e^{-\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分

$I = \int e^{-\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}} dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$e^{-\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}}$ を $e^{-\frac{1}{3}x}e^{\frac{1}{2}}$と変形します。

次に、定数$e^{\frac{1}{2}}$を積分の外に出します。

すると、積分は

$I = e^{\frac{1}{2}}\int e^{-\frac{1}{3}x} dx$

となります。

ここで、$u = -\frac{1}{3}x$と置換すると、$du = -\frac{1}{3}dx$より、$dx = -3du$です。

したがって、積分は

$I = e^{\frac{1}{2}} \int e^{u} (-3) du = -3e^{\frac{1}{2}} \int e^{u} du$

となります。

$\int e^{u} du = e^{u} + C$（Cは積分定数）なので、

$I = -3e^{\frac{1}{2}} e^{u} + C$

ここで、$u = -\frac{1}{3}x$を代入して、

$I = -3e^{\frac{1}{2}} e^{-\frac{1}{3}x} + C = -3e^{-\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}} + C$

となります。

3. 最終的な答え

$-3e^{-\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}} + C$