(1) $z = f(2x - 3y)$ のとき、$-3z_x = 2z_y$ を示す。 (2) $z = f(\frac{y}{x})$ のとき、$xz_x + yz_y = 0$ を示す。 (3) $z = (x + y)f(x^2 - y^2)$ のとき、$yz_x + xz_y = z$ を示す。

1. 問題の内容

(1) $z = f(2x - 3y)$ のとき、$-3z_x = 2z_y$ を示す。

(2) $z = f(\frac{y}{x})$ のとき、$xz_x + yz_y = 0$ を示す。

(3) $z = (x + y)f(x^2 - y^2)$ のとき、$yz_x + xz_y = z$ を示す。

2. 解き方の手順

(1) $z = f(2x - 3y)$ のとき、$u = 2x - 3y$ とおく。すると、$z = f(u)$ となる。

連鎖律より、

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{df}{du} \frac{\partial u}{\partial x} = f'(u) \cdot 2 = 2f'(u)$

$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{df}{du} \frac{\partial u}{\partial y} = f'(u) \cdot (-3) = -3f'(u)$

よって、

$-3z_x = -3 \cdot 2f'(u) = -6f'(u)$

$2z_y = 2 \cdot (-3f'(u)) = -6f'(u)$

したがって、$-3z_x = 2z_y$ が成り立つ。

(2) $z = f(\frac{y}{x})$ のとき、$u = \frac{y}{x}$ とおく。すると、$z = f(u)$ となる。

連鎖律より、

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{df}{du} \frac{\partial u}{\partial x} = f'(u) \cdot (-\frac{y}{x^2}) = -\frac{y}{x^2} f'(u)$

$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{df}{du} \frac{\partial u}{\partial y} = f'(u) \cdot (\frac{1}{x}) = \frac{1}{x} f'(u)$

よって、

$xz_x = x \cdot (-\frac{y}{x^2} f'(u)) = -\frac{y}{x} f'(u)$

$yz_y = y \cdot (\frac{1}{x} f'(u)) = \frac{y}{x} f'(u)$

したがって、$xz_x + yz_y = -\frac{y}{x} f'(u) + \frac{y}{x} f'(u) = 0$ が成り立つ。

(3) $z = (x + y)f(x^2 - y^2)$ のとき、$u = x^2 - y^2$ とおく。すると、$z = (x+y)f(u)$ となる。

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = f(u) + (x+y)f'(u) \cdot 2x = f(u) + 2x(x+y)f'(u)$

$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = f(u) + (x+y)f'(u) \cdot (-2y) = f(u) - 2y(x+y)f'(u)$

よって、

$yz_x = yf(u) + 2xy(x+y)f'(u)$

$xz_y = xf(u) - 2xy(x+y)f'(u)$

$yz_x + xz_y = yf(u) + 2xy(x+y)f'(u) + xf(u) - 2xy(x+y)f'(u) = (x+y)f(u) = z$

したがって、$yz_x + xz_y = z$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $-3z_x = 2z_y$

(2) $xz_x + yz_y = 0$

(3) $yz_x + xz_y = z$