与えられた関数 $f(x)$ について、その導関数 $f'(x)$ を求め、さらに $x=2$ における微分係数 $f'(2)$ を求める。ただし、$x=2$ で微分不可能な場合は、「×」と答える。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ について、その導関数 $f'(x)$ を求め、さらに $x=2$ における微分係数 $f'(2)$ を求める。ただし、$x=2$ で微分不可能な場合は、「×」と答える。

2. 解き方の手順

(a) $f(x) = (2x+3)(x^4+3x)$

積の微分法を用いる。$(uv)' = u'v + uv'$

$u = 2x+3$, $v = x^4+3x$ とすると、

$u' = 2$, $v' = 4x^3+3$

$f'(x) = 2(x^4+3x) + (2x+3)(4x^3+3)$

$f'(x) = 2x^4+6x + 8x^4+12x^3+6x+9$

$f'(x) = 10x^4 + 12x^3 + 12x + 9$

$f'(2) = 10(2^4) + 12(2^3) + 12(2) + 9 = 10(16) + 12(8) + 24 + 9 = 160 + 96 + 24 + 9 = 289$

(b) $f(x) = \frac{3x}{x^3+1}$

商の微分法を用いる。$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u = 3x$, $v = x^3+1$ とすると、

$u' = 3$, $v' = 3x^2$

$f'(x) = \frac{3(x^3+1) - 3x(3x^2)}{(x^3+1)^2}$

$f'(x) = \frac{3x^3+3 - 9x^3}{(x^3+1)^2}$

$f'(x) = \frac{-6x^3+3}{(x^3+1)^2}$

$f'(2) = \frac{-6(2^3)+3}{(2^3+1)^2} = \frac{-6(8)+3}{(8+1)^2} = \frac{-48+3}{9^2} = \frac{-45}{81} = -\frac{5}{9}$

(c) $f(x) = \ln((x+2)\sqrt{5x-10})$

合成関数の微分法と積の微分法を用いる。

$f(x) = \ln(x+2) + \ln(\sqrt{5x-10}) = \ln(x+2) + \frac{1}{2}\ln(5x-10)$

$f'(x) = \frac{1}{x+2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5x-10} = \frac{1}{x+2} + \frac{5}{10x-20} = \frac{1}{x+2} + \frac{1}{2x-4}$

しかし、$x=2$ のとき $\sqrt{5x-10} = \sqrt{0}=0$となり、$\ln 0$ は定義されないので、$f(x)$ は $x=2$ で定義されない。また、$f'(x)$ も $x=2$ で定義されない。

(d) $f(x) = (2x+4)^{100}$

合成関数の微分法を用いる。

$f'(x) = 100(2x+4)^{99} \cdot 2 = 200(2x+4)^{99}$

$f'(2) = 200(2(2)+4)^{99} = 200(4+4)^{99} = 200(8^{99})$

(e) $f(x) = e^{x^3+x^2+3}$

合成関数の微分法を用いる。

$f'(x) = e^{x^3+x^2+3} \cdot (3x^2+2x)$

$f'(2) = e^{2^3+2^2+3} \cdot (3(2^2)+2(2)) = e^{8+4+3} \cdot (3(4)+4) = e^{15} \cdot (12+4) = 16e^{15}$

(f) $f(x) = x \ln x^2$

積の微分法と合成関数の微分法を用いる。

$f(x) = 2x \ln x$

$f'(x) = 2 \ln x + 2x \cdot \frac{1}{x} = 2 \ln x + 2$

$f'(2) = 2 \ln 2 + 2$

3. 最終的な答え

(a) $f'(2) = 289$

(b) $f'(2) = -\frac{5}{9}$

(c) $f'(2) = \times$

(d) $f'(2) = 200(8^{99})$

(e) $f'(2) = 16e^{15}$

(f) $f'(2) = 2 \ln 2 + 2$