与えられた関数 $f(x)$ に対して、導関数 $f'(x)$ を求め、$x=2$ における微分係数 $f'(2)$ を計算する。もし $x=2$ で微分不可能であれば、「×」と答える。以下の6つの関数に対して行う。 a) $f(x) = (x^2+2)(x^3+2x)$ b) $f(x) = \frac{x^3+1}{3x}$ c) $f(x) = \frac{3x}{\sqrt{5x-10}}$ d) $f(x) = (3x+1)^{50}$ e) $f(x) = e^{x^2+2x+3}$ f) $f(x) = x \ln x$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ に対して、導関数 $f'(x)$ を求め、$x=2$ における微分係数 $f'(2)$ を計算する。もし $x=2$ で微分不可能であれば、「×」と答える。以下の6つの関数に対して行う。

a) $f(x) = (x^2+2)(x^3+2x)$

b) $f(x) = \frac{x^3+1}{3x}$

c) $f(x) = \frac{3x}{\sqrt{5x-10}}$

d) $f(x) = (3x+1)^{50}$

e) $f(x) = e^{x^2+2x+3}$

f) $f(x) = x \ln x$

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で解く。

(1) 導関数 $f'(x)$ を求める。

(2) $x=2$ を代入して $f'(2)$ を計算する。

(3) もし $x=2$ で微分不可能なら「×」と答える。

a) $f(x) = (x^2+2)(x^3+2x)$

積の微分法を用いる。$f'(x) = (2x)(x^3+2x) + (x^2+2)(3x^2+2)$

$f'(x) = 2x^4 + 4x^2 + 3x^4 + 2x^2 + 6x^2 + 4 = 5x^4 + 12x^2 + 4$

$f'(2) = 5(2^4) + 12(2^2) + 4 = 5(16) + 12(4) + 4 = 80 + 48 + 4 = 132$

b) $f(x) = \frac{x^3+1}{3x}$

商の微分法を用いる。$f'(x) = \frac{(3x^2)(3x) - (x^3+1)(3)}{(3x)^2} = \frac{9x^3 - 3x^3 - 3}{9x^2} = \frac{6x^3 - 3}{9x^2} = \frac{2x^3 - 1}{3x^2}$

$f'(2) = \frac{2(2^3) - 1}{3(2^2)} = \frac{2(8) - 1}{3(4)} = \frac{16-1}{12} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$

c) $f(x) = \frac{3x}{\sqrt{5x-10}}$

商の微分法を用いる。$f'(x) = \frac{3\sqrt{5x-10} - 3x \frac{5}{2\sqrt{5x-10}}}{5x-10} = \frac{3(5x-10) - \frac{15}{2}x}{(5x-10)\sqrt{5x-10}} = \frac{ \frac{30x-60-15x}{2}}{(5x-10)^{\frac{3}{2}}} = \frac{15x-60}{2(5x-10)^{\frac{3}{2}}}$

$x=2$ を代入すると、分母が $2(10-10)^{\frac{3}{2}} = 0$ となり、微分不可能。

d) $f(x) = (3x+1)^{50}$

合成関数の微分法を用いる。$f'(x) = 50(3x+1)^{49} \cdot 3 = 150(3x+1)^{49}$

$f'(2) = 150(3(2)+1)^{49} = 150(7^{49})$

e) $f(x) = e^{x^2+2x+3}$

合成関数の微分法を用いる。$f'(x) = e^{x^2+2x+3}(2x+2) = (2x+2)e^{x^2+2x+3}$

$f'(2) = (2(2)+2)e^{2^2+2(2)+3} = (4+2)e^{4+4+3} = 6e^{11}$

f) $f(x) = x \ln x$

積の微分法を用いる。$f'(x) = (1)(\ln x) + x(\frac{1}{x}) = \ln x + 1$

$f'(2) = \ln 2 + 1$

3. 最終的な答え

a) 132

b) 5/4

c) ×

d) $150 \cdot 7^{49}$

e) $6e^{11}$

f) $\ln 2 + 1$