ベクトル $\mathbf{r} = (x, y, z)$、 $r = |\mathbf{r}|$ とする。以下の二つの問題を解く。 1. 積分 $\int_S \mathbf{r} \cdot d\mathbf{S}$ を計算せよ。ここで、$S$ は原点を中心とする半径 $a$ の球面を表す。

1. 問題の内容

ベクトル $\mathbf{r} = (x, y, z)$、 $r = |\mathbf{r}|$ とする。以下の二つの問題を解く。

1. 積分 $\int_S \mathbf{r} \cdot d\mathbf{S}$ を計算せよ。ここで、$S$ は原点を中心とする半径 $a$ の球面を表す。

2. 面積分 $\int_S \frac{\mathbf{r}}{r^2} \cdot d\mathbf{S}$ を、変数 $r$ に関する体積分に変換せよ。ここで、$S$ は閉曲面であり、$V$ は $S$ で囲まれた領域とする。

2. 解き方の手順

(1) 積分 $\int_S \mathbf{r} \cdot d\mathbf{S}$ の計算

$S$ は半径 $a$ の球面であるから、球面座標系を使うと便利である。

球面の法線ベクトルは $\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}}{r}$ となる。よって、$d\mathbf{S} = \mathbf{n} dS = \frac{\mathbf{r}}{r} dS$ である。

$\int_S \mathbf{r} \cdot d\mathbf{S} = \int_S \mathbf{r} \cdot \frac{\mathbf{r}}{r} dS = \int_S \frac{|\mathbf{r}|^2}{r} dS = \int_S \frac{r^2}{r} dS = \int_S r dS$

球面上では $r = a$ なので、

$\int_S \mathbf{r} \cdot d\mathbf{S} = \int_S a dS = a \int_S dS$

$\int_S dS$ は球の表面積に等しい。半径 $a$ の球の表面積は $4\pi a^2$ なので、

$\int_S \mathbf{r} \cdot d\mathbf{S} = a (4\pi a^2) = 4\pi a^3$

(2) 面積分 $\int_S \frac{\mathbf{r}}{r^2} \cdot d\mathbf{S}$ の体積分への変換

発散定理を用いる。発散定理とは、ベクトル場 $\mathbf{F}$ に対して、

$\int_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \int_V \nabla \cdot \mathbf{F} dV$

が成り立つという定理である。ここで、$V$ は閉曲面 $S$ で囲まれた領域を表す。

$\mathbf{F} = \frac{\mathbf{r}}{r^2}$ とすると、$\nabla \cdot \mathbf{F} = \nabla \cdot \left(\frac{\mathbf{r}}{r^2}\right)$ を計算する必要がある。

$\mathbf{r} = (x, y, z)$、 $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ である。

$\frac{\mathbf{r}}{r^2} = \left(\frac{x}{x^2+y^2+z^2}, \frac{y}{x^2+y^2+z^2}, \frac{z}{x^2+y^2+z^2}\right)$

$\nabla \cdot \left(\frac{\mathbf{r}}{r^2}\right) = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{x}{x^2+y^2+z^2}\right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{y}{x^2+y^2+z^2}\right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{z}{x^2+y^2+z^2}\right)$

$= \frac{(x^2+y^2+z^2) - x(2x)}{(x^2+y^2+z^2)^2} + \frac{(x^2+y^2+z^2) - y(2y)}{(x^2+y^2+z^2)^2} + \frac{(x^2+y^2+z^2) - z(2z)}{(x^2+y^2+z^2)^2}$

$= \frac{3(x^2+y^2+z^2) - 2(x^2+y^2+z^2)}{(x^2+y^2+z^2)^2} = \frac{x^2+y^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^2} = \frac{1}{x^2+y^2+z^2} = \frac{1}{r^2}$

したがって、

$\int_S \frac{\mathbf{r}}{r^2} \cdot d\mathbf{S} = \int_V \nabla \cdot \left(\frac{\mathbf{r}}{r^2}\right) dV = \int_V \frac{1}{r^2} dV$

ただし、領域 $V$ が原点を含まない場合、$\nabla \cdot (\frac{\mathbf{r}}{r^2}) = 0$となる。

もし領域 $V$ が原点を含むなら、$\nabla \cdot (\frac{\mathbf{r}}{r^2}) = 4\pi \delta(\mathbf{r})$ となり、積分結果は $4\pi$となる。($\delta(\mathbf{r})$はディラックのデルタ関数)

発散定理を使うためには、$S$で囲まれる$V$において、$\mathbf{F}$が連続微分可能であることが必要である。

$\mathbf{F} = \frac{\mathbf{r}}{r^2}$ は原点で定義できないので、$V$が原点を含まないときは $\nabla \cdot \mathbf{F}=0$となり、面積分は0。

$V$が原点を含むときは、原点に非常に近い半径$\epsilon$の球面で囲まれた領域$V'$を$V$から除いて発散定理を適用し、$\epsilon \rightarrow 0$ の極限をとることで、 $\int_S \frac{\mathbf{r}}{r^2} \cdot d\mathbf{S}= 4\pi$となる。

3. 最終的な答え

(1) $\int_S \mathbf{r} \cdot d\mathbf{S} = 4\pi a^3$

(2) 領域$V$が原点を含まない場合: $\int_S \frac{\mathbf{r}}{r^2} \cdot d\mathbf{S} = 0$

領域$V$が原点を含む場合: $\int_S \frac{\mathbf{r}}{r^2} \cdot d\mathbf{S} = 4\pi$