与えられた関数 $f(x)$ の第 $n$ 次導関数 $f^{(n)}(x)$ を求める問題です。 (1) $f(x) = e^{\sqrt{3}x} \sin x$ (2) $f(x) = x^3 \sin(2x)$ (1)については、さらに $f^{(n)}(x)$ の式が実際に正しいことを数学的帰納法を用いて証明します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ の第 $n$ 次導関数 $f^{(n)}(x)$ を求める問題です。

(1) $f(x) = e^{\sqrt{3}x} \sin x$

(2) $f(x) = x^3 \sin(2x)$

(1)については、さらに $f^{(n)}(x)$ の式が実際に正しいことを数学的帰納法を用いて証明します。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = e^{\sqrt{3}x} \sin x$ について

まず、$f(x)$ の導関数をいくつか計算し、$f^{(n)}(x)$ の形を推測します。

$f'(x) = \sqrt{3} e^{\sqrt{3}x} \sin x + e^{\sqrt{3}x} \cos x = e^{\sqrt{3}x} (\sqrt{3} \sin x + \cos x)$

$f''(x) = \sqrt{3} e^{\sqrt{3}x} (\sqrt{3} \sin x + \cos x) + e^{\sqrt{3}x} (\sqrt{3} \cos x - \sin x) = e^{\sqrt{3}x} (3 \sin x + \sqrt{3} \cos x + \sqrt{3} \cos x - \sin x) = e^{\sqrt{3}x} (2 \sin x + 2\sqrt{3} \cos x)$

$f(x) = e^{\sqrt{3}x} \sin x = e^{\sqrt{3}x} \Im(e^{ix})$

$f^{(n)}(x) = \Im\left( (\sqrt{3}+i)^n e^{\sqrt{3}x+ix} \right) = e^{\sqrt{3}x} \Im\left( (\sqrt{3}+i)^n e^{ix} \right)$

$\sqrt{3}+i = 2e^{i\pi/6}$ なので

$f^{(n)}(x) = e^{\sqrt{3}x} \Im \left( 2^n e^{in\pi/6} e^{ix} \right) = 2^n e^{\sqrt{3}x} \sin(x+n\pi/6)$

数学的帰納法による証明：

(i) $n=1$ のとき、

$f'(x) = 2^1 e^{\sqrt{3}x} \sin(x+1\pi/6) = 2 e^{\sqrt{3}x} (\sin x \cos(\pi/6) + \cos x \sin(\pi/6)) = 2 e^{\sqrt{3}x} (\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x) = e^{\sqrt{3}x} (\sqrt{3} \sin x + \cos x)$

これは実際に $f'(x)$ と一致します。

(ii) $n=k$ で成り立つと仮定します。つまり、$f^{(k)}(x) = 2^k e^{\sqrt{3}x} \sin(x+k\pi/6)$ が成り立つとします。

(iii) $n=k+1$ のとき、

$f^{(k+1)}(x) = \frac{d}{dx} f^{(k)}(x) = \frac{d}{dx} (2^k e^{\sqrt{3}x} \sin(x+k\pi/6)) = 2^k (\sqrt{3} e^{\sqrt{3}x} \sin(x+k\pi/6) + e^{\sqrt{3}x} \cos(x+k\pi/6))$

$= 2^k e^{\sqrt{3}x} (\sqrt{3} \sin(x+k\pi/6) + \cos(x+k\pi/6))$

$= 2^k e^{\sqrt{3}x} 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} \sin(x+k\pi/6) + \frac{1}{2} \cos(x+k\pi/6))$

$= 2^{k+1} e^{\sqrt{3}x} (\cos(\pi/6) \sin(x+k\pi/6) + \sin(\pi/6) \cos(x+k\pi/6))$

$= 2^{k+1} e^{\sqrt{3}x} \sin(x+k\pi/6+\pi/6) = 2^{k+1} e^{\sqrt{3}x} \sin(x+(k+1)\pi/6)$

したがって、$n=k+1$ のときも成り立ちます。

(i)(ii)(iii)より、数学的帰納法により、$f^{(n)}(x) = 2^n e^{\sqrt{3}x} \sin(x+n\pi/6)$ が正しいことが証明されました。

(2) $f(x) = x^3 \sin(2x)$ について

$f'(x) = 3x^2 \sin(2x) + 2x^3 \cos(2x)$

$f''(x) = 6x \sin(2x) + 6x^2 \cos(2x) + 6x^2 \cos(2x) - 4x^3 \sin(2x) = 6x \sin(2x) + 12x^2 \cos(2x) - 4x^3 \sin(2x)$

ライプニッツの公式を使うことを考えます。

ライプニッツの公式は、$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(n-k)} v^{(k)}$ です。

$u(x) = x^3$, $v(x) = \sin(2x)$ とすると

$u'(x) = 3x^2$, $u''(x) = 6x$, $u'''(x) = 6$, $u^{(4)}(x) = 0$

$v'(x) = 2\cos(2x)$, $v''(x) = -4\sin(2x)$, $v'''(x) = -8\cos(2x)$, $v^{(4)}(x) = 16\sin(2x)$

$v^{(n)}(x) = 2^n \sin(2x + n\pi/2)$

$f^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(n-k)} v^{(k)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (x^3)^{(n-k)} (\sin(2x))^{(k)}$

$= \binom{n}{0} x^3 (2^n \sin(2x + n\pi/2)) + \binom{n}{1} 3x^2 (2^{n-1} \sin(2x + (n-1)\pi/2)) + \binom{n}{2} 6x (2^{n-2} \sin(2x + (n-2)\pi/2)) + \binom{n}{3} 6 (2^{n-3} \sin(2x + (n-3)\pi/2))$

$f^{(n)}(x) = x^3 2^n \sin(2x+n\pi/2) + 3n x^2 2^{n-1} \sin(2x+(n-1)\pi/2) + 3n(n-1)x 2^{n-2} \sin(2x+(n-2)\pi/2) + n(n-1)(n-2) 2^{n-3} \sin(2x+(n-3)\pi/2)$

3. 最終的な答え

(1) $f^{(n)}(x) = 2^n e^{\sqrt{3}x} \sin(x+n\pi/6)$

(2) $f^{(n)}(x) = x^3 2^n \sin(2x+n\pi/2) + 3n x^2 2^{n-1} \sin(2x+(n-1)\pi/2) + 3n(n-1)x 2^{n-2} \sin(2x+(n-2)\pi/2) + n(n-1)(n-2) 2^{n-3} \sin(2x+(n-3)\pi/2)$