$\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x}^{x^2}$ の極限値を求めます。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x}^{x^2}$ の極限値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を変形します。

$y = \sqrt{x}^{x^2}$ と置きます。

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln (\sqrt{x}^{x^2}) = x^2 \ln(\sqrt{x}) = x^2 \cdot \frac{1}{2} \ln x = \frac{1}{2} x^2 \ln x$

したがって、

$\lim_{x \to 0^+} \ln y = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2} x^2 \ln x$

ここで、$\lim_{x \to 0^+} x^2 \ln x$ を求めます。

これは $0 \cdot (-\infty)$ の不定形であるため、$x^2 = \frac{1}{1/x^2}$ と変形し、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0^+} x^2 \ln x = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x^2}$

この式は $\frac{-\infty}{\infty}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-2/x^3} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} \cdot \frac{-x^3}{2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{-x^2}{2} = 0$

したがって、

$\lim_{x \to 0^+} \ln y = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$

$\lim_{x \to 0^+} \ln y = 0$ より、$\lim_{x \to 0^+} y = e^0 = 1$

3. 最終的な答え

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