関数 $y = \frac{x}{1-x}$ の第n次導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x}{1-x}$ の第n次導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を変形します。

$y = \frac{x}{1-x} = \frac{x-1+1}{1-x} = \frac{-(1-x)+1}{1-x} = -1 + \frac{1}{1-x} = -1 + (1-x)^{-1}$

次に、第1次導関数、$y'$を求めます。

$y' = \frac{d}{dx} (-1 + (1-x)^{-1}) = 0 + (-1)(1-x)^{-2}(-1) = (1-x)^{-2}$

第2次導関数、$y''$を求めます。

$y'' = \frac{d}{dx} (1-x)^{-2} = (-2)(1-x)^{-3}(-1) = 2(1-x)^{-3}$

第3次導関数、$y'''$を求めます。

$y''' = \frac{d}{dx} 2(1-x)^{-3} = 2(-3)(1-x)^{-4}(-1) = 2 \cdot 3 (1-x)^{-4} = 6(1-x)^{-4}$

第4次導関数、$y^{(4)}$を求めます。

$y^{(4)} = \frac{d}{dx} 6(1-x)^{-4} = 6(-4)(1-x)^{-5}(-1) = 6 \cdot 4 (1-x)^{-5} = 24(1-x)^{-5}$

これらの結果から、第n次導関数の一般式を推測します。

$y^{(n)} = n! (1-x)^{-(n+1)}$

数学的帰納法で証明します。

n=1のとき、$y' = 1! (1-x)^{-(1+1)} = (1-x)^{-2}$となり、成り立ちます。

n=kのとき、$y^{(k)} = k! (1-x)^{-(k+1)}$が成り立つと仮定します。

このとき、$y^{(k+1)} = \frac{d}{dx} [k! (1-x)^{-(k+1)}] = k!(-(k+1))(1-x)^{-(k+2)}(-1) = k!(k+1)(1-x)^{-(k+2)} = (k+1)!(1-x)^{-(k+2)}$

よって、n=k+1のときも成り立ちます。

したがって、すべての自然数nに対して、$y^{(n)} = n! (1-x)^{-(n+1)}$が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$