与えられた極限 $\lim_{x \to 0} \left( \frac{a^x + b^x}{2} \right)^{1/x}$ を計算します。ただし、$a, b > 0$ です。

1. 問題の内容

与えられた極限 $\lim_{x \to 0} \left( \frac{a^x + b^x}{2} \right)^{1/x}$ を計算します。ただし、$a, b > 0$ です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた極限の対数を取ります。

$L = \lim_{x \to 0} \left( \frac{a^x + b^x}{2} \right)^{1/x}$ とすると、

$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln \left( \frac{a^x + b^x}{2} \right)$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

まず、$\frac{a^x + b^x}{2}$ を $f(x)$ とおくと、

$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(f(x))}{x}$

分子と分母をそれぞれ微分すると、

$\frac{d}{dx} \ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}$

$\frac{d}{dx} x = 1$

したがって、

$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{f(x)}$

$f(x) = \frac{a^x + b^x}{2}$ なので、

$f'(x) = \frac{a^x \ln a + b^x \ln b}{2}$

よって、

$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{a^x \ln a + b^x \ln b}{2}}{\frac{a^x + b^x}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{a^x \ln a + b^x \ln b}{a^x + b^x}$

$x \to 0$ のとき、$a^x \to 1$, $b^x \to 1$ なので、

$\ln L = \frac{\ln a + \ln b}{1 + 1} = \frac{\ln a + \ln b}{2} = \frac{\ln (ab)}{2} = \ln \sqrt{ab}$

したがって、$L = \sqrt{ab}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{ab}$