与えられた積分 $\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+3}} dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+3}} dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この積分を解くために、三角関数置換を行います。

$x = \sqrt{3} \tan{\theta}$ と置換すると、$dx = \sqrt{3} \sec^2{\theta} d\theta$ となります。

このとき、$x^2 + 3 = 3 \tan^2{\theta} + 3 = 3(\tan^2{\theta} + 1) = 3 \sec^2{\theta}$ なので、$\sqrt{x^2 + 3} = \sqrt{3} \sec{\theta}$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$$\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+3}} dx = \int \frac{3 \tan^2{\theta}}{\sqrt{3} \sec{\theta}} \sqrt{3} \sec^2{\theta} d\theta = \int 3 \tan^2{\theta} \sec{\theta} d\theta = 3 \int \tan^2{\theta} \sec{\theta} d\theta$$

ここで、$\tan^2{\theta} = \sec^2{\theta} - 1$ を用いると、

$$3 \int (\sec^2{\theta} - 1) \sec{\theta} d\theta = 3 \int (\sec^3{\theta} - \sec{\theta}) d\theta = 3 \int \sec^3{\theta} d\theta - 3 \int \sec{\theta} d\theta$$

$\int \sec{\theta} d\theta = \ln|\sec{\theta} + \tan{\theta}| + C$ であり、$\int \sec^3{\theta} d\theta = \frac{1}{2}(\sec{\theta} \tan{\theta} + \ln|\sec{\theta} + \tan{\theta}|) + C$ であることを利用します。

$$3 \int \sec^3{\theta} d\theta - 3 \int \sec{\theta} d\theta = 3 \cdot \frac{1}{2}(\sec{\theta} \tan{\theta} + \ln|\sec{\theta} + \tan{\theta}|) - 3 \ln|\sec{\theta} + \tan{\theta}| + C$$

$$= \frac{3}{2} \sec{\theta} \tan{\theta} + \frac{3}{2} \ln|\sec{\theta} + \tan{\theta}| - 3 \ln|\sec{\theta} + \tan{\theta}| + C = \frac{3}{2} \sec{\theta} \tan{\theta} - \frac{3}{2} \ln|\sec{\theta} + \tan{\theta}| + C$$

$x = \sqrt{3} \tan{\theta}$ より、$\tan{\theta} = \frac{x}{\sqrt{3}}$ であり、$\sec{\theta} = \sqrt{\tan^2{\theta} + 1} = \sqrt{\frac{x^2}{3} + 1} = \frac{\sqrt{x^2+3}}{\sqrt{3}}$ です。

よって、

$$\frac{3}{2} \frac{\sqrt{x^2+3}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{x}{\sqrt{3}} - \frac{3}{2} \ln|\frac{\sqrt{x^2+3}}{\sqrt{3}} + \frac{x}{\sqrt{3}}| + C = \frac{x \sqrt{x^2+3}}{2} - \frac{3}{2} \ln|\sqrt{x^2+3} + x| + C'$$

ただし、$C' = C + \frac{3}{2} \ln(\sqrt{3})$ です。

3. 最終的な答え

$\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+3}} dx = \frac{x \sqrt{x^2+3}}{2} - \frac{3}{2} \ln|\sqrt{x^2+3} + x| + C$