与えられた関数 $f(x)$ について、指定された $x$ の値における微分係数を定義に従って求める問題です。 (1) $f(x) = \sqrt{2x}$ ($x = 1$) (2) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ ($x = 3$)

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ について、指定された $x$ の値における微分係数を定義に従って求める問題です。

(1) $f(x) = \sqrt{2x}$ ($x = 1$)

(2) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ ($x = 3$)

2. 解き方の手順

微分係数の定義式は次の通りです。

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

(1) $f(x) = \sqrt{2x}$ ($x = 1$) の場合:

$f(1) = \sqrt{2 \cdot 1} = \sqrt{2}$

$f(1+h) = \sqrt{2(1+h)} = \sqrt{2+2h}$

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2+2h} - \sqrt{2}}{h}$

有理化するために、分子と分母に $\sqrt{2+2h} + \sqrt{2}$ を掛けます。

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{2+2h} - \sqrt{2})(\sqrt{2+2h} + \sqrt{2})}{h(\sqrt{2+2h} + \sqrt{2})}$

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(2+2h) - 2}{h(\sqrt{2+2h} + \sqrt{2})}$

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{2h}{h(\sqrt{2+2h} + \sqrt{2})}$

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{2}{\sqrt{2+2h} + \sqrt{2}}$

$f'(1) = \frac{2}{\sqrt{2+0} + \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ ($x = 3$) の場合:

$f(3) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$f(3+h) = \frac{1}{\sqrt{3+h}}$

$f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{3+h}} - \frac{1}{\sqrt{3}}}{h}$

$f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{3} - \sqrt{3+h}}{h\sqrt{3}\sqrt{3+h}}$

有理化するために、分子と分母に $\sqrt{3} + \sqrt{3+h}$ を掛けます。

$f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{3+h})(\sqrt{3} + \sqrt{3+h})}{h\sqrt{3}\sqrt{3+h}(\sqrt{3} + \sqrt{3+h})}$

$f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{3 - (3+h)}{h\sqrt{3}\sqrt{3+h}(\sqrt{3} + \sqrt{3+h})}$

$f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h\sqrt{3}\sqrt{3+h}(\sqrt{3} + \sqrt{3+h})}$

$f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{\sqrt{3}\sqrt{3+h}(\sqrt{3} + \sqrt{3+h})}$

$f'(3) = \frac{-1}{\sqrt{3}\sqrt{3}(\sqrt{3} + \sqrt{3})} = \frac{-1}{3(2\sqrt{3})} = \frac{-1}{6\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{18}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $-\frac{\sqrt{3}}{18}$