問題は以下の通りです。 $k > 1$とし、曲線$y = e^{-kx^2}$を$C$とする。 (1) 曲線$C$上の点$(x_0, e^{-kx_0^2})$における法線が原点$O$を通るような$x_0$をすべて求めよ。 (2) 曲線$C$上の点における法線で、原点$O$を通り、傾きが$1$のものがあるとする。このとき、定数$k$の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

$k > 1$とし、曲線$y = e^{-kx^2}$を$C$とする。

(1) 曲線$C$上の点$(x_0, e^{-kx_0^2})$における法線が原点$O$を通るような$x_0$をすべて求めよ。

(2) 曲線$C$上の点における法線で、原点$O$を通り、傾きが$1$のものがあるとする。このとき、定数$k$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = e^{-kx^2}$を微分して、$y'$を求める。

$y' = e^{-kx^2} \cdot (-2kx) = -2kxe^{-kx^2}$

点$(x_0, e^{-kx_0^2})$における接線の傾きは、$x = x_0$を代入して、$y' = -2kx_0 e^{-kx_0^2}$となる。

法線の傾きは、接線の傾きの逆数に$-1$をかけたものなので、

法線の傾き $= \frac{1}{2kx_0 e^{-kx_0^2}} = \frac{e^{kx_0^2}}{2kx_0}$。

ただし、$x_0 \neq 0$である必要がある。

法線の方程式は、

$y - e^{-kx_0^2} = \frac{e^{kx_0^2}}{2kx_0}(x - x_0)$

法線が原点$(0, 0)$を通るので、

$0 - e^{-kx_0^2} = \frac{e^{kx_0^2}}{2kx_0}(0 - x_0)$

$-e^{-kx_0^2} = \frac{e^{kx_0^2}}{2kx_0}(-x_0)$

$-e^{-kx_0^2} = -\frac{e^{kx_0^2}}{2k}$

$e^{-kx_0^2} = \frac{e^{kx_0^2}}{2k}$

$1 = \frac{e^{2kx_0^2}}{2k}$

$2k = e^{2kx_0^2}$

$2kx_0^2 = \ln(2k)$

$x_0^2 = \frac{\ln(2k)}{2k}$

$x_0 = \pm \sqrt{\frac{\ln(2k)}{2k}}$

$x_0 = 0$のとき、$y' = 0$なので、接線は$y = e^0 = 1$となり、法線は$x = x_0 = 0$となる。

したがって、原点を通る。

(2)

法線の傾きが1なので、$\frac{e^{kx_0^2}}{2kx_0} = 1$

$e^{kx_0^2} = 2kx_0$

$e^{kx_0^2} = 2kx_0$と$2k = e^{2kx_0^2}$より、$2kx_0 = \sqrt{2k}$

$x_0 = \frac{\sqrt{2k}}{2k} = \frac{1}{\sqrt{2k}}$

$2kx_0^2 = \ln(2k)$に代入すると、

$2k (\frac{1}{\sqrt{2k}})^2 = \ln(2k)$

$2k \cdot \frac{1}{2k} = \ln(2k)$

$1 = \ln(2k)$

$e^1 = 2k$

$k = \frac{e}{2}$

$\frac{e}{2} > 1$を満たす。

3. 最終的な答え

(1) $x_0 = 0, \pm \sqrt{\frac{\ln(2k)}{2k}}$

(2) $k = \frac{e}{2}$