極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\frac{\cos x - 1}{x}$の極限を求めるために、式を変形します。

$\cos x - 1$ に $\cos x + 1$ を掛けて割ることで、$\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x$ を利用できる形にします。

\begin{align*}

\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} &= \lim_{x \to 0} \frac{(\cos x - 1)(\cos x + 1)}{x(\cos x + 1)} \\

&= \lim_{x \to 0} \frac{\cos^2 x - 1}{x(\cos x + 1)} \\

&= \lim_{x \to 0} \frac{-\sin^2 x}{x(\cos x + 1)} \\

&= \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{-\sin x}{\cos x + 1}

\end{align*}

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ であることを利用します。

また、$\lim_{x \to 0} \sin x = 0$ および $\lim_{x \to 0} \cos x = 1$ であることも利用します。

\begin{align*}

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{-\sin x}{\cos x + 1} &= 1 \cdot \frac{-0}{1 + 1} \\

&= 1 \cdot \frac{0}{2} \\

&= 0

\end{align*}

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} = 0$