問題は不定積分を求めることです。具体的には、以下の関数を積分します。ただし、$a>0$とします。 $ \int \left( x\sqrt{a^2-x^2} + a^2\sin^{-1}\frac{x}{a} \right) dx $

1. 問題の内容

問題は不定積分を求めることです。具体的には、以下の関数を積分します。ただし、$a>0$とします。

$\int \left( x\sqrt{a^2-x^2} + a^2\sin^{-1}\frac{x}{a} \right) dx$

2. 解き方の手順

与えられた積分を二つの部分に分けて考えます。

$\int x\sqrt{a^2-x^2} dx + \int a^2\sin^{-1}\frac{x}{a} dx$

最初の積分を$I_1$、二番目の積分を$I_2$とします。

$I_1 = \int x\sqrt{a^2-x^2} dx$

$I_2 = \int a^2\sin^{-1}\frac{x}{a} dx$

$I_1$を計算します。

$u = a^2-x^2$ と置換すると、$du = -2x dx$ となります。したがって、$x dx = -\frac{1}{2}du$。

$I_1 = \int \sqrt{u} \left(-\frac{1}{2} du\right) = -\frac{1}{2} \int u^{1/2} du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C_1 = -\frac{1}{3}(a^2-x^2)^{3/2} + C_1$

$I_2$を計算します。部分積分を使います。

$I_2 = a^2 \int \sin^{-1}\frac{x}{a} dx$

$u = \sin^{-1}\frac{x}{a}$、$dv = dx$とすると、$du = \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx$、$v = x$となります。

$I_2 = a^2 \left[ x\sin^{-1}\frac{x}{a} - \int \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} dx \right]$

積分$\int \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} dx$を計算します。

$w = a^2 - x^2$ と置換すると、$dw = -2x dx$ となります。したがって、$x dx = -\frac{1}{2} dw$。

$\int \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \int \frac{-1/2}{\sqrt{w}}dw = -\frac{1}{2} \int w^{-1/2} dw = -\frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{w} + C = -\sqrt{a^2-x^2} + C$

したがって、$I_2 = a^2 \left[ x\sin^{-1}\frac{x}{a} + \sqrt{a^2-x^2} \right] + C_2 = a^2 x\sin^{-1}\frac{x}{a} + a^2 \sqrt{a^2-x^2} + C_2$

与えられた積分は、$I_1 + I_2$ です。

$I = -\frac{1}{3}(a^2-x^2)^{3/2} + a^2 x\sin^{-1}\frac{x}{a} + a^2 \sqrt{a^2-x^2} + C$

$I = -\frac{1}{3}(a^2-x^2)\sqrt{a^2-x^2} + a^2 x\sin^{-1}\frac{x}{a} + a^2 \sqrt{a^2-x^2} + C$

$I = \sqrt{a^2-x^2} \left( -\frac{1}{3}(a^2-x^2) + a^2 \right) + a^2 x\sin^{-1}\frac{x}{a} + C$

$I = \sqrt{a^2-x^2} \left( -\frac{1}{3}a^2 + \frac{1}{3}x^2 + a^2 \right) + a^2 x\sin^{-1}\frac{x}{a} + C$

$I = \sqrt{a^2-x^2} \left( \frac{2}{3}a^2 + \frac{1}{3}x^2 \right) + a^2 x\sin^{-1}\frac{x}{a} + C$

$I = \frac{1}{3}\sqrt{a^2-x^2}(2a^2 + x^2) + a^2 x\sin^{-1}\frac{x}{a} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}\sqrt{a^2-x^2}(2a^2 + x^2) + a^2\arcsin(\frac{x}{a}) + C$

あるいは

$\frac{1}{3}(2a^2+x^2)\sqrt{a^2-x^2} + a^2 \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C$