与えられた定積分を計算する問題です。積分は、$\int_{0}^{1} \frac{dx}{x^2 + x + 1}$です。

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算する問題です。積分は、$\int_{0}^{1} \frac{dx}{x^2 + x + 1}$です。

2. 解き方の手順

まず、分母を平方完成します。

$x^2 + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$

次に、積分を書き換えます。

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{x^2 + x + 1} = \int_{0}^{1} \frac{dx}{(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}}$

ここで、$x + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \tan{\theta}$ と置換します。すると、$dx = \frac{\sqrt{3}}{2} \sec^2{\theta} d\theta$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。

$x = 0$ のとき、$\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \tan{\theta}$ より、$\tan{\theta} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ なので、$\theta = \frac{\pi}{6}$

$x = 1$ のとき、$\frac{3}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \tan{\theta}$ より、$\tan{\theta} = \sqrt{3}$ なので、$\theta = \frac{\pi}{3}$

したがって、積分は以下のようになります。

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \sec^2{\theta} d\theta}{(\frac{\sqrt{3}}{2} \tan{\theta})^2 + \frac{3}{4}} = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \sec^2{\theta} d\theta}{\frac{3}{4} \tan^2{\theta} + \frac{3}{4}} = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \sec^2{\theta} d\theta}{\frac{3}{4} (\tan^2{\theta} + 1)} = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \sec^2{\theta} d\theta}{\frac{3}{4} \sec^2{\theta}}$

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{4}} d\theta = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{2\sqrt{3}}{3} d\theta = \frac{2\sqrt{3}}{3} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} d\theta = \frac{2\sqrt{3}}{3} [\theta]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} (\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}) = \frac{2\sqrt{3}}{3} (\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}\pi}{9}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{3}\pi}{9}$