与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0} \left( \tan x - \frac{1}{\cos x} \right) $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0} \left( \tan x - \frac{1}{\cos x} \right)$$

2. 解き方の手順

まず、$\tan x$を$\frac{\sin x}{\cos x}$と書き換えます。

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0} \left( \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{1}{\cos x} \right)$$

共通の分母$\cos x$でまとめることができます。

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0} \frac{\sin x - 1}{\cos x}$$

ここで、$x \to \frac{\pi}{2}-0$のとき、$\sin x \to 1$、$\cos x \to 0$となるため、$\frac{0}{0}$の不定形となります。したがって、ロピタルの定理を適用できます。

分子と分母をそれぞれ$x$で微分します。

$$\frac{d}{dx}(\sin x - 1) = \cos x$$

$$\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$$

したがって、

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0} \frac{\sin x - 1}{\cos x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0} \frac{\cos x}{-\sin x}$$

$x \to \frac{\pi}{2}-0$のとき、$\cos x \to 0$、$\sin x \to 1$なので、

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0} \frac{\cos x}{-\sin x} = \frac{0}{-1} = 0$$

3. 最終的な答え

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