関数 $f(x) = x\sqrt{a^2 - x^2} + a^2\sin^{-1}\frac{x}{a}$ (ただし、$a > 0$) の微分を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x\sqrt{a^2 - x^2} + a^2\sin^{-1}\frac{x}{a}$ (ただし、$a > 0$) の微分を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの項を個別に微分します。

第1項: $x\sqrt{a^2 - x^2}$ の微分

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x$ と $v = \sqrt{a^2 - x^2}$ とすると、

$u' = 1$ であり、$v' = \frac{1}{2\sqrt{a^2 - x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{a^2 - x^2}}$ です。

したがって、第1項の微分は

$1 \cdot \sqrt{a^2 - x^2} + x \cdot \frac{-x}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sqrt{a^2 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \frac{a^2 - x^2 - x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \frac{a^2 - 2x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}}$

となります。

第2項: $a^2\sin^{-1}\frac{x}{a}$ の微分

$\sin^{-1} u$ の微分は $\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot u'$ です。

$u = \frac{x}{a}$ なので、$u' = \frac{1}{a}$ です。

したがって、第2項の微分は

$a^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{a})^2}} \cdot \frac{1}{a} = a^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}} \cdot \frac{1}{a} = a^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{a^2 - x^2}{a^2}}} \cdot \frac{1}{a} = a^2 \cdot \frac{a}{\sqrt{a^2 - x^2}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{a^2}{\sqrt{a^2 - x^2}}$

となります。

したがって、$f(x)$ の微分は

$\frac{a^2 - 2x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} + \frac{a^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \frac{a^2 - 2x^2 + a^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \frac{2a^2 - 2x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \frac{2(a^2 - x^2)}{\sqrt{a^2 - x^2}} = 2\sqrt{a^2 - x^2}$

となります。

3. 最終的な答え

$2\sqrt{a^2 - x^2}$