関数 $x = \frac{1}{2} \tan y$ （$-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$）の逆関数 $y = \tan^{-1} 2x$（$-\infty < x < \infty$）を、逆関数の微分の公式を用いて微分する。

1. 問題の内容

関数 $x = \frac{1}{2} \tan y$ （$-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$）の逆関数 $y = \tan^{-1} 2x$（$-\infty < x < \infty$）を、逆関数の微分の公式を用いて微分する。

2. 解き方の手順

逆関数の微分の公式を用いる。

関数 $x=f(y)$ の逆関数を $y = f^{-1}(x)$ とすると、

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$$

である。

まず、$x = \frac{1}{2} \tan y$ を $y$ で微分する。

$$\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy} \left( \frac{1}{2} \tan y \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dy} (\tan y)$$

$\tan y$ の微分は $\frac{1}{\cos^2 y}$ または $1 + \tan^2 y$ であるので、

$$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos^2 y} = \frac{1}{2} (1 + \tan^2 y)$$

ここで、$x = \frac{1}{2} \tan y$ より、$\tan y = 2x$ なので、

$$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{2} (1 + (2x)^2) = \frac{1}{2}(1 + 4x^2)$$

よって、

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{\frac{1}{2}(1+4x^2)} = \frac{2}{1+4x^2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{1+4x^2}$