与えられた積分 $\int \frac{dx}{x^2 - 1}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{dx}{x^2 - 1}$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分を解くには、部分分数分解を利用します。まず、被積分関数 $\frac{1}{x^2 - 1}$ を部分分数に分解します。

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ であることに注意すると、

$$\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$$

となるような定数 $A$ と $B$ を求めます。両辺に $(x - 1)(x + 1)$ を掛けると、

$$1 = A(x + 1) + B(x - 1)$$

$x = 1$ を代入すると $1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$。

$x = -1$ を代入すると $1 = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$。

したがって、

$$\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1/2}{x - 1} - \frac{1/2}{x + 1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right)$$

よって、積分は

\begin{align*} \label{eq:1} \int \frac{dx}{x^2 - 1} &= \frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right) dx \\ &= \frac{1}{2} \left( \int \frac{1}{x - 1} dx - \int \frac{1}{x + 1} dx \right) \\ &= \frac{1}{2} (\ln |x - 1| - \ln |x + 1|) + C \\ &= \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x - 1}{x + 1} \right| + C\end{align*}

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln \left| \frac{x - 1}{x + 1} \right| + C$