定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を使って解きます。

部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ です。

$u = x$, $dv = \cos x dx$ とすると、

$du = dx$, $v = \sin x$ となります。

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x dx = \left[ x \sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx$

$\left[ x \sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} \sin \frac{\pi}{2} - 0 \cdot \sin 0 = \frac{\pi}{2} \cdot 1 - 0 = \frac{\pi}{2}$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx = \left[ -\cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos \frac{\pi}{2} - (-\cos 0) = -0 + 1 = 1$

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x dx = \frac{\pi}{2} - 1$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2} - 1$