与えられた積分 $\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

置換積分法を用います。

$u = x^2 + 1$ と置くと、$\frac{du}{dx} = 2x$ より $du = 2x \, dx$ となります。

したがって、$x \, dx = \frac{1}{2} \, du$ です。

これらを積分に代入すると、

$\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} du$

となります。

$u^{-\frac{1}{2}}$ の積分は

$\int u^{-\frac{1}{2}} du = \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{u} + C$

したがって、

$\frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} du = \frac{1}{2} (2\sqrt{u}) + C = \sqrt{u} + C$

最後に、$u = x^2 + 1$ を代入すると、

$\sqrt{x^2+1} + C$

となります。

3. 最終的な答え

$\sqrt{x^2+1} + C$