与えられた積分 $\int \frac{x^2}{x^3 + 2} dx$ を計算する。

## 問題 7 の解答

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{x^2}{x^3 + 2} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

この積分は、置換積分を用いて解くことができる。

$u = x^3 + 2$ と置くと、$\frac{du}{dx} = 3x^2$ より $du = 3x^2 dx$ となる。

したがって、$x^2 dx = \frac{1}{3} du$ となる。

これを用いて積分を書き換えると、

$\int \frac{x^2}{x^3 + 2} dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} du$ となる。

$\int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C$ であるので、

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{3} \ln |u| + C$ となる。

最後に、$u = x^3 + 2$ を代入すると、

$\frac{1}{3} \ln |x^3 + 2| + C$ となる。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} \ln |x^3 + 2| + C$

## 問題 8 の解答

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int x \sin x \, dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

この積分は、部分積分を用いて解く。部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ である。

$u = x$ と $dv = \sin x \, dx$ とすると、$du = dx$ であり、$v = -\cos x$ となる。

したがって、

$\int x \sin x \, dx = x (-\cos x) - \int (-\cos x) \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx$ となる。

$\int \cos x \, dx = \sin x + C$ であるので、

$\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C$ となる。

3. 最終的な答え

$-x \cos x + \sin x + C$