3次関数 $f(x) = x^3 - 4x^2 + 7$ について、 (1) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $A(1, f(1))$ における接線を求める。 (2) 接線 $l$ と $y = f(x)$ のグラフの共有点のうち、$A$ 以外の点 $B$ の座標を求め、さらに点 $B$ における法線 $m$ の方程式を求める。

## 解答

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 - 4x^2 + 7$ について、

(1) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $A(1, f(1))$ における接線を求める。

(2) 接線 $l$ と $y = f(x)$ のグラフの共有点のうち、$A$ 以外の点 $B$ の座標を求め、さらに点 $B$ における法線 $m$ の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f(x)$ を微分して $f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 3x^2 - 8x$

点 $A(1, f(1))$ における接線の傾きは $f'(1)$ で求められる。

$f'(1) = 3(1)^2 - 8(1) = 3 - 8 = -5$

よって、接線 $l$ の傾きは -5 である。

次に、点 $A$ の $y$ 座標 $f(1)$ を求める。

$f(1) = (1)^3 - 4(1)^2 + 7 = 1 - 4 + 7 = 4$

点 $A(1, 4)$ を通り傾きが -5 の直線の方程式は、

$y - 4 = -5(x - 1)$

$y = -5x + 5 + 4$

$y = -5x + 9$

(2) 接線 $y = -5x + 9$ と曲線 $y = x^3 - 4x^2 + 7$ の交点を求める。

$x^3 - 4x^2 + 7 = -5x + 9$

$x^3 - 4x^2 + 5x - 2 = 0$

$(x - 1)(x^2 - 3x + 2) = 0$

$(x - 1)(x - 1)(x - 2) = 0$

$(x - 1)^2 (x - 2) = 0$

$x = 1$ (重解) および $x = 2$

$x = 1$ は点 $A$ に対応するので、$x = 2$ が点 $B$ の $x$ 座標である。

点 $B$ の $y$ 座標は、接線の方程式に $x = 2$ を代入して求める。

$y = -5(2) + 9 = -10 + 9 = -1$

よって、点 $B$ の座標は $(2, -1)$ である。

点 $B$ における法線 $m$ の傾きは、接線の傾き -5 の逆数の符号を変えたものであるから、$\frac{1}{5}$ である。

点 $B(2, -1)$ を通り傾きが $\frac{1}{5}$ の直線の方程式は、

$y - (-1) = \frac{1}{5} (x - 2)$

$y + 1 = \frac{1}{5}x - \frac{2}{5}$

$y = \frac{1}{5}x - \frac{2}{5} - 1$

$y = \frac{1}{5}x - \frac{7}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = 3x^2 - 8x$

接線 $l$ の方程式は $y = -5x + 9$

(2) 点 $B$ の座標は $(2, -1)$

点 $B$ における法線 $m$ の方程式は $y = \frac{1}{5}x - \frac{7}{5}$