$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、次の三角関数の方程式と不等式を解く問題です。 (1) $\sin \theta - \cos \theta = 1$ (2) $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta < \sqrt{2}$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、次の三角関数の方程式と不等式を解く問題です。

(1) $\sin \theta - \cos \theta = 1$

(2) $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta < \sqrt{2}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta - \cos \theta = 1$

合成関数を用いて変形します。

$\sqrt{2} \sin(\theta - \frac{\pi}{4}) = 1$

$\sin(\theta - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$-\frac{\pi}{4} \le \theta - \frac{\pi}{4} < \frac{7\pi}{4}$ です。

$\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$

$\theta = \frac{\pi}{2}, \pi$

(2) $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta < \sqrt{2}$

合成関数を用いて変形します。

$2 \sin(\theta + \frac{\pi}{3}) < \sqrt{2}$

$\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) < \frac{\sqrt{2}}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{3} < \frac{7\pi}{3}$ です。

$\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となるのは、$\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}$です。

$\theta + \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{4}$ となるのは $\theta < -\frac{\pi}{12}$ なので不適。

$\frac{\pi}{4} < \theta + \frac{\pi}{3} < \frac{3\pi}{4}$ となるのは $-\frac{\pi}{12} < \theta < \frac{5\pi}{12}$。$\frac{\pi}{3}$を考慮すると $\theta < \frac{5\pi}{12}$

$\frac{3\pi}{4} < \theta + \frac{\pi}{3} < \frac{9\pi}{4}$となるのは $\frac{5\pi}{12} < \theta < \frac{23\pi}{12}$

$\theta + \frac{\pi}{3} > \frac{9\pi}{4}$となるのは $\theta > \frac{23\pi}{12}$ なので$\frac{23\pi}{12}<\theta<2\pi$

よって、$\theta + \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{4}$ または $\frac{3\pi}{4} < \theta + \frac{\pi}{3} < \frac{9\pi}{4}$となる。

$\theta < -\frac{\pi}{12}$または$\frac{5\pi}{12} < \theta < \frac{23\pi}{12}$

$0 \le \theta < 2\pi$ であるから、$\frac{5\pi}{12} < \theta < \frac{23\pi}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{2}, \pi$

(2) $\frac{5\pi}{12} < \theta < \frac{23\pi}{12}$